Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz , que é uma matriz quadrada de ordem 4. Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes de matrizes, que nos permite encontrar um número único associado a uma matriz quadrada. Vamos precisar lembrar das regras para calcular determinantes, especialmente para matrizes maiores que 2x2.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz B = 0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0 para facilitar nossa visualização:
Passo 3
Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, uma maneira eficiente é usar a expansão de Laplace, que envolve escolher uma linha ou coluna com zeros para simplificar os cálculos. Olhando para a primeira coluna de , vemos que os dois primeiros elementos são zero, o que facilita nossa escolha.
Passo 4
Vamos expandir o determinante pela primeira coluna. A fórmula da expansão de Laplace para a primeira coluna é:
det(B) = b11C11 + b21C21 + b31C31 + b41C41
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 5
Observando os elementos da primeira coluna:
b11 = 0, b21 = 0, b31 = a, b41 = 1
Como os dois primeiros elementos são zero, os termos correspondentes no cálculo do determinante também serão zero. Então, sobra:
det(B) = b31C31 + b41C41
Passo 6
Vamos calcular os cofatores Cij = (-1)^i+j cdot Mij e . O cofator é dado por:
Onde é a matriz menor, ou seja, a matriz que resulta ao remover a -ésima linha e a -ésima coluna de .