Calcule o determinante das matrizes abaixo.
b) B=[llll0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante da matriz , que é uma matriz quadrada de ordem 4. Para isso, vamos usar o conteúdo de determinantes de matrizes, que nos permite encontrar um número único associado a uma matriz quadrada. Vamos precisar lembrar das regras para calcular determinantes, especialmente para matrizes maiores que 2x2.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz B = 0 & a & b & 1 0 & 1 & 0 & 0 a & a & 0 & b 1 & b & a & 0 para facilitar nossa visualização:

Passo 3

Para calcular o determinante de uma matriz 4x4, uma maneira eficiente é usar a expansão de Laplace, que envolve escolher uma linha ou coluna com zeros para simplificar os cálculos. Olhando para a primeira coluna de , vemos que os dois primeiros elementos são zero, o que facilita nossa escolha.

Passo 4

Vamos expandir o determinante pela primeira coluna. A fórmula da expansão de Laplace para a primeira coluna é:
det(B) = b11C11 + b21C21 + b31C31 + b41C41
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Observando os elementos da primeira coluna:
b11 = 0, b21 = 0, b31 = a, b41 = 1
Como os dois primeiros elementos são zero, os termos correspondentes no cálculo do determinante também serão zero. Então, sobra:
det(B) = b31C31 + b41C41

Passo 6

Vamos calcular os cofatores Cij = (-1)^i+j cdot Mij e . O cofator é dado por:
Onde é a matriz menor, ou seja, a matriz que resulta ao remover a -ésima linha e a -ésima coluna de .

Passo 7

Primeiro, calculamos C31 = (-1)^3+1 cdot M31 = (-1)^4 cdot M31 = 1 cdot M31 :
M31 = a & b & 1 1 & 0 & 0 b & a & 0
Matriz menor :

Passo 8

Agora, calculamos o determinante de det(M31) = a cdot 0 & 0 a & 0 - b cdot 1 & 0 b & 0 + 1 cdot 1 & 0 b & a :
0 & 0 a & 0 = (0)(0) - (0)(a) = 0
Calculando cada menor 2x2:
1 & 0 b & 0 = (1)(0) - (0)(b) = 0
1 & 0 b & a = (1)(a) - (0)(b) = a
det(M31) = a cdot 0 - b cdot 0 + 1 cdot a = a
Então:
C31 = 1 cdot a = a
Portanto:

Passo 9

Agora, calculamos C41 = (-1)^4+1 cdot M41 = (-1)^5 cdot M41 = -1 cdot M41 :
M41 = a & b & 1 1 & 0 & 0 a & 0 & b
Matriz menor :

Passo 10

Calculamos o determinante de det(M41) = a cdot 0 & 0 0 & b - b cdot 1 & 0 a & b + 1 cdot 1 & 0 a & 0 :
0 & 0 0 & b = (0)(b) - (0)(0) = 0
Calculando cada menor 2x2:
1 & 0 a & b = (1)(b) - (0)(a) = b
1 & 0 a & 0 = (1)(0) - (0)(a) = 0
det(M41) = a cdot 0 - b cdot b + 1 cdot 0 = -b^2
Então:
C41 = -1 cdot (-b^2) = b^2
Portanto:

Passo 11

Agora, voltamos ao cálculo do determinante de det(B) = b31C31 + b41C41 = a cdot a + 1 cdot b^2 = a^2 + b^2 :

Resposta

O determinante da matriz é .

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