Determine a equação do plano que contém a reta e o ponto comum aos
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém uma reta específica e também passa por um ponto que é comum a três equações dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de reta e plano, além de métodos para encontrar pontos de interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto que é comum às três equações do sistema:
Para resolver esse sistema, podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar o método de eliminação.
Passo 3
Vamos somar a primeira e a segunda equações para eliminar o :
Passo 4
Agora, vamos subtrair a terceira equação da primeira para também eliminar o :
Passo 5
Com , substituímos na Equação 4:
Passo 6
Agora, substituímos e em uma das equações originais para encontrar . Vou usar a segunda equação:
Passo 7
Agora que temos , encontramos :
Então, o ponto comum é .
Passo 8
Agora, vamos analisar a reta . Podemos escrever a reta na forma paramétrica:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .
Passo 9
Para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto que está no plano e um vetor normal ao plano. Temos o ponto comum encontrado e o vetor diretor da reta, mas precisamos de outro vetor no plano. Podemos usar o vetor formado entre o ponto comum e um ponto qualquer da reta.
Vamos escolher na reta para facilitar: .
O vetor entre e é:
Passo 10
Agora, temos dois vetores no plano:
O vetor normal ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:
Multiplicando todos os componentes por 25 para simplificar:
n = (-16, 5, 38)
Simplificando por 8:
n = (16, -5, -38)
Para facilitar, podemos multiplicar por -1:
Passo 11
Agora que temos o vetor normal 16(x - x0) - 5(y - y0) - 38(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, 16(x - 1825) - 5(y - 15) - 38(z + 2425) = 0 , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula: