Determine a equação do plano que contém a reta r: x-23=y+32=z e o ponto comum aos
x+y+2 z+1 & =0 3 x-y+z-1 & =0 x-4 y+2 z+2 & =0
Resposta: pi: 16 x-5 y-38 z-47=0

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão pede. A gente precisa encontrar a equação de um plano que contém uma reta específica e também passa por um ponto que é comum a três equações dadas. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como equações de reta e plano, além de métodos para encontrar pontos de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto que é comum às três equações do sistema:
x + y + 2z + 1 &= 0 3x - y + z - 1 &= 0 x - 4y + 2z + 2 &= 0
Para resolver esse sistema, podemos usar o método de substituição ou eliminação. Vou usar o método de eliminação.

Passo 3

Vamos somar a primeira e a segunda equações para eliminar o (x + y + 2z + 1) + (3x - y + z - 1) = 0 + 0 4x + 3z = 0 (Equação 4) :
çã

Passo 4

Agora, vamos subtrair a terceira equação da primeira para também eliminar o (x + y + 2z + 1) - (x - 4y + 2z + 2) = 0 - 0 5y - 1 = 0 y = 15 :

Passo 5

Com 4x + 3z = 0 Rightarrow 4x = -3z Rightarrow x = -34z , substituímos na Equação 4:

Passo 6

Agora, substituímos 3(-34z) - 15 + z - 1 = 0 -94z + z - 15 - 1 = 0 -54z - 65 = 0 -54z = 65 z = -65 cdot 45 = -2425 e em uma das equações originais para encontrar . Vou usar a segunda equação:

Passo 7

Agora que temos x = -34 cdot (-2425) = 72100 = 1825 , encontramos :
Então, o ponto comum é .

Passo 8

Agora, vamos analisar a reta x = 3t + 2 y = 2t - 3 z = t . Podemos escrever a reta na forma paramétrica:
Isso significa que o vetor diretor da reta é .

Passo 9

Para encontrar a equação do plano, precisamos de um ponto que está no plano e um vetor normal ao plano. Temos o ponto comum encontrado e o vetor diretor da reta, mas precisamos de outro vetor no plano. Podemos usar o vetor formado entre o ponto comum e um ponto qualquer da reta.
Vamos escolher (1825 - 2, 15 + 3, -2425 - 0) = (-3225, 165, -2425) na reta para facilitar: .
O vetor entre e é:

Passo 10

Agora, temos dois vetores no plano:
d = (3, 2, 1) v = (-3225, 165, -2425)
O vetor normal n = d times v = i & j & k 3 & 2 & 1 -3225 & 165 & -2425 ao plano é o produto vetorial desses dois vetores:
n = (2 cdot (-2425) - 1 cdot 165)i - (3 cdot (-2425) - 1 cdot (-3225))j + (3 cdot 165 - 2 cdot (-3225))k
Calculando o determinante:
n = (-4825 - 165)i - (-7225 + 3225)j + (485 + 6425)k
n = (-4825 - 8025)i - (-4025)j + (24025 + 6425)k
n = (-12825)i + 4025j + 30425k
n = (-128, 40, 304)
Multiplicando todos os componentes por 25 para simplificar:
n = (-16, 5, 38)
Simplificando por 8:
n = (16, -5, -38)
Para facilitar, podemos multiplicar por -1:

Passo 11

Agora que temos o vetor normal 16(x - x0) - 5(y - y0) - 38(z - z0) = 0 e um ponto no plano, por exemplo, 16(x - 1825) - 5(y - 15) - 38(z + 2425) = 0 , podemos escrever a equação do plano usando a fórmula:
16 cdot 25 cdot (x) - 16 cdot 18 - 5 cdot 25 cdot y + 5 cdot 5 - 38 cdot 25 cdot z - 38 cdot 24 = 0
Substituindo os valores:
400x - 288 - 125y + 25 - 950z - 912 = 0
Multiplicando tudo por 25 para eliminar as frações:
400x - 125y - 950z - 1175 = 0
Simplificando:
16x - 5y - 38z - 47 = 0
Juntando os termos:
Dividindo todos os termos por 25 para simplificar:

Resposta

pi: 16x - 5y - 38z - 47 = 0

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