Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas
e
e passa pelo ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem as assíntotas
e
, e que passa pelo ponto
. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que estuda curvas no plano através de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que as assíntotas de uma hipérbole são linhas que a curva se aproxima quando vai para o infinito. A equação geral de uma hipérbole com assíntotas
e
é:
Aqui,
e
são constantes que definem a forma da hipérbole.
Passo 3
No nosso caso, as assíntotas são
e
. Comparando com a equação geral, percebemos que
. Sabemos que
, então:
Passo 4
Agora, substituímos
na equação geral da hipérbole:
Passo 5
Para encontrar o valor de
, usamos o ponto pelo qual a hipérbole passa, que é
. Substituímos
e
na equação:
Passo 6
Vamos resolver essa equação para
. Primeiro, temos um denominador comum
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Aqui percebemos que
é negativo, o que não faz sentido para uma hipérbole real. Isso indica que, na verdade, a hipérbole tem a equação invertida.
Passo 7
Vamos considerar a outra forma da equação da hipérbole:
As assíntotas nessa forma são
. Comparando com as assíntotas dadas
, temos:
Passo 8
Substituímos
na equação da hipérbole:
Passo 9
Usamos novamente o ponto
para encontrar
:
Somando as frações:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Agora, encontramos
, podemos achar
usando
:
Passo 11
Finalmente, substituímos
e
na equação da hipérbole:
Multiplicando todos os termos por 15 para simplificar:
Resposta
A equação da hipérbole é
.