Determine a equação da hipérbole que tem assíntotas y=2 x e y=-2 x e passa pelo ponto (2,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de matemática juntos! A gente precisa encontrar a equação de uma hipérbole que tem as assíntotas e , e que passa pelo ponto . Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica, que estuda curvas no plano através de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que as assíntotas de uma hipérbole são linhas que a curva se aproxima quando vai para o infinito. A equação geral de uma hipérbole com assíntotas y^2a^2 - x^2b^2 = 1 e é:
Aqui, e são constantes que definem a forma da hipérbole.

Passo 3

No nosso caso, as assíntotas são 2 = ab Rightarrow a = 2b e . Comparando com a equação geral, percebemos que . Sabemos que , então:

Passo 4

Agora, substituímos y^2(2b)^2 - x^2b^2 = 1 Rightarrow y^24b^2 - x^2b^2 = 1 na equação geral da hipérbole:

Passo 5

Para encontrar o valor de 1^24b^2 - 2^2b^2 = 1 Rightarrow 14b^2 - 4b^2 = 1 , usamos o ponto pelo qual a hipérbole passa, que é . Substituímos e na equação:

Passo 6

Vamos resolver essa equação para 1 - 164b^2 = 1 Rightarrow -154b^2 = 1 . Primeiro, temos um denominador comum -15 = 4b^2 Rightarrow b^2 = -154 :
Multiplicando ambos os lados por :
Aqui percebemos que é negativo, o que não faz sentido para uma hipérbole real. Isso indica que, na verdade, a hipérbole tem a equação invertida.

Passo 7

Vamos considerar a outra forma da equação da hipérbole:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
As assíntotas nessa forma são ba = 2 Rightarrow b = 2a . Comparando com as assíntotas dadas , temos:

Passo 8

Substituímos x^2a^2 - y^2(2a)^2 = 1 Rightarrow x^2a^2 - y^24a^2 = 1 na equação da hipérbole:

Passo 9

Usamos novamente o ponto 2^2a^2 - 1^24a^2 = 1 Rightarrow 4a^2 - 14a^2 = 1 para encontrar 16 - 14a^2 = 1 Rightarrow 154a^2 = 1 :
15 = 4a^2 Rightarrow a^2 = 154 Rightarrow a = raiz152
Somando as frações:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 10

Agora, encontramos b = 2 times raiz152 = raiz15 , podemos achar usando :

Passo 11

Finalmente, substituímos x^2154 - y^215 = 1 Rightarrow 4x^215 - y^215 = 1 e 4x^2 - y^2 = 15 na equação da hipérbole:
Multiplicando todos os termos por 15 para simplificar:

Resposta

A equação da hipérbole é .

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