Calcule o determinante das seguintes matrizes pelo método de Laplace.
(a)
(b)
©
A=(ll3 & 1 5 & 2)
B=(rrr2 & -3 & 3 4 & 4 & 1 2 & 1 & 2)
C=(rrrr2 & 0 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & -1 -6 & 12 & 0 & 4 1 & -15 & 21 & 3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de três matrizes diferentes usando o método de Laplace. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de determinantes. Para isso, vamos precisar entender como expandir o determinante utilizando cofatores, o que facilita o cálculo em matrizes maiores. Vamos passo a passo para ficar bem claro!

Passo 2

Vamos começar com a primeira matriz:
A = 3 & 1 5 & 2
Essa é uma matriz 2x2, e para calcular o determinante dela, usamos a fórmula simples:
det(A) = ad - bc
Onde:
  • det(A) = (3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1
Então, substituindo na fórmula:

Passo 3

Agora vamos para a segunda matriz:
B = 2 & -3 & 3 4 & 4 & 1 2 & 1 & 2
Essa é uma matriz 3x3, então vamos usar a expansão de Laplace. Para matrizes 3x3, uma forma prática é usar a regra de Sarrus, mas vamos seguir o método de Laplace para manter a consistência.
Escolhemos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha para simplificar.
O determinante será:
det(B) = 2 cdot det 4 & 1 1 & 2 - (-3) cdot det 4 & 1 2 & 2 + 3 cdot det 4 & 4 2 & 1
Vamos calcular cada determinante menor:
  1. Para o primeiro menor:
det 4 & 1 1 & 2 = (4)(2) - (1)(1) = 8 - 1 = 7
  1. Para o segundo menor:
det 4 & 1 2 & 2 = (4)(2) - (1)(2) = 8 - 2 = 6
  1. Para o terceiro menor:
det 4 & 4 2 & 1 = (4)(1) - (4)(2) = 4 - 8 = -4
Agora substituímos de volta na expressão do determinante:
det(B) = 2(7) - (-3)(6) + 3(-4) = 14 + 18 - 12 = 20

Passo 4

Por último, vamos calcular o determinante da terceira matriz:
C = 2 & 0 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & -1 -6 & 12 & 0 & 4 1 & -15 & 21 & 3
Essa é uma matriz 4x4, então o método de Laplace pode ficar um pouco mais trabalhoso, mas vamos lá. Vamos expandir o determinante utilizando cofatores, escolhendo a linha ou coluna que facilite os cálculos. Vamos escolher a primeira linha para expandir.
A fórmula geral para o determinante usando Laplace é:
det(C) = sumj=1^n (-1)^i+j cdot cij cdot det(Mij)
Onde:
  • det(C) = 2 cdot det 3 & 3 & -1 12 & 0 & 4 -15 & 21 & 3 - 0 cdot det() + 1 cdot det 0 & 3 & -1 -6 & 0 & 4 1 & 21 & 3 - 1 cdot det 0 & 3 & 3 -6 & 12 & 0 1 & -15 & 21 é o elemento da linha det 3 & 3 & -1 12 & 0 & 4 -15 & 21 & 3 e coluna 3 cdot det 0 & 4 21 & 3 - 3 cdot det 12 & 4 -15 & 3 - 1 cdot det 12 & 0 -15 & 21
  • det 0 & 4 21 & 3 = (0)(3) - (4)(21) = 0 - 84 = -84 é a matriz menor resultante da remoção da linha det 12 & 4 -15 & 3 = (12)(3) - (4)(-15) = 36 + 60 = 96 e coluna det 12 & 0 -15 & 21 = (12)(21) - (0)(-15) = 252 - 0 = 252
Aplicando na primeira linha:
3(-84) - 3(96) - 1(252) = -252 - 288 - 252 = -792
Note que o segundo termo desaparece porque está multiplicado por zero.
Vamos calcular cada determinante menor:
  1. Primeiro menor:
det 0 & 3 & -1 -6 & 0 & 4 1 & 21 & 3
Para simplificar, podemos expandir essa matriz 3x3 usando Laplace novamente. Utilizando a primeira linha:
0 cdot det() - 3 cdot det -6 & 4 1 & 3 -1 cdot det -6 & 0 1 & 21
Calculando cada um:
a)
det -6 & 4 1 & 3 = (-6)(3) - (4)(1) = -18 - 4 = -22
b)
det -6 & 0 1 & 21 = (-6)(21) - (0)(1) = -126 - 0 = -126
c)
-3(-22) -1(-126) = 66 + 126 = 192
Substituindo de volta:
det 0 & 3 & 3 -6 & 12 & 0 1 & -15 & 21
  1. Segundo menor:
0 cdot det() - 3 cdot det -6 & 0 1 & 21 + 3 cdot det -6 & 12 1 & -15
Expandindo pela primeira linha:
det -6 & 0 1 & 21 = (-6)(21) - (0)(1) = -126 - 0 = -126
O primeiro termo desaparece:
a)
det -6 & 12 1 & -15 = (-6)(-15) - (12)(1) = 90 - 12 = 78
b)
-3(-126) + 3(78) = 378 + 234 = 612
Substituindo:
det(C) = 2(-792) + 1(192) - 1(612) = -1584 + 192 - 612 = -2004
  1. Terceiro menor:
Expandindo pela primeira linha:
O primeiro termo some:
a)
b)
Substituindo:
Agora, voltando à expressão original do determinante:

Resposta

Os determinantes das matrizes são:
  • A:
  • B:
  • C:

Exercícios relacionados

Resolva os seguintes sistemas, onde a, b e c são constantes.
(a) clx1+x2+x3 & =a 2 x1+2 x3 & =b 3 x2+3 x3 & =c
Resolva o seguinte sistema pelo Método das matrizes elementares.
rlr x1+3 x2-2 x3+2 x5 & =0 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6 & =-1 5 x3+10 x4+15 x6 & =5 2 x1+6 x2+8 x4+4 x5+18 x6 & =6
Determine a matriz inversa das seguintes matrizes, utilizando a matriz adjunta
(a)
A=(rr1 & 1 -12 & 5)
(b)
B=(rrr12 & 10 & 0 3 & 14 & 11 2 & -1 & 0)
©
C=(rrr2 & 10 & 1 6 & 3 & 3 -6 & 2 & 9)
Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:
(a) cx1+x2=2 5 x1+6 x2=9
(b) clrx1+3 x2+x3 & = & 4 2 x1+2 x2+x3 & = & -1 2 x1+3 x2+x3 & = & 3
© clrx+y+z & = & 5 x+y-4 z & = & 10 -4 x+y+z & = & 0
(d) ccx1+2 x2+3 x3 & =b1 2 x1+5 x2+5 x3 & =b2 3 x1+5 x2+8 x3 & =b3