Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o determinante de três matrizes diferentes usando o método de Laplace. Isso faz parte do conteúdo de Álgebra Linear, especificamente no estudo de determinantes. Para isso, vamos precisar entender como expandir o determinante utilizando cofatores, o que facilita o cálculo em matrizes maiores. Vamos passo a passo para ficar bem claro!
Passo 2
Vamos começar com a primeira matriz:
A = 3 & 1 5 & 2
Essa é uma matriz 2x2, e para calcular o determinante dela, usamos a fórmula simples:
det(A) = ad - bc
Onde:
det(A) = (3)(2) - (1)(5) = 6 - 5 = 1
Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora vamos para a segunda matriz:
B = 2 & -3 & 3 4 & 4 & 1 2 & 1 & 2
Essa é uma matriz 3x3, então vamos usar a expansão de Laplace. Para matrizes 3x3, uma forma prática é usar a regra de Sarrus, mas vamos seguir o método de Laplace para manter a consistência.
Escolhemos expandir pelo primeiro elemento da primeira linha para simplificar.
Essa é uma matriz 4x4, então o método de Laplace pode ficar um pouco mais trabalhoso, mas vamos lá. Vamos expandir o determinante utilizando cofatores, escolhendo a linha ou coluna que facilite os cálculos. Vamos escolher a primeira linha para expandir.
A fórmula geral para o determinante usando Laplace é:
det(C) = sumj=1^n (-1)^i+j cdot cij cdot det(Mij)
Onde:
det(C) = 2 cdot det 3 & 3 & -1 12 & 0 & 4 -15 & 21 & 3 - 0 cdot det() + 1 cdot det 0 & 3 & -1 -6 & 0 & 4 1 & 21 & 3 - 1 cdot det 0 & 3 & 3 -6 & 12 & 0 1 & -15 & 21 é o elemento da linha det 3 & 3 & -1 12 & 0 & 4 -15 & 21 & 3 e coluna 3 cdot det 0 & 4 21 & 3 - 3 cdot det 12 & 4 -15 & 3 - 1 cdot det 12 & 0 -15 & 21
det 0 & 4 21 & 3 = (0)(3) - (4)(21) = 0 - 84 = -84 é a matriz menor resultante da remoção da linha det 12 & 4 -15 & 3 = (12)(3) - (4)(-15) = 36 + 60 = 96 e coluna det 12 & 0 -15 & 21 = (12)(21) - (0)(-15) = 252 - 0 = 252
Aplicando na primeira linha:
3(-84) - 3(96) - 1(252) = -252 - 288 - 252 = -792
Note que o segundo termo desaparece porque está multiplicado por zero.
Vamos calcular cada determinante menor:
Primeiro menor:
det 0 & 3 & -1 -6 & 0 & 4 1 & 21 & 3
Para simplificar, podemos expandir essa matriz 3x3 usando Laplace novamente. Utilizando a primeira linha: