Resolva o seguinte sistema pelo Método das matrizes elementares.
rlr x1+3 x2-2 x3+2 x5 & =0 2 x1+6 x2-5 x3-2 x4+4 x5-3 x6 & =-1 5 x3+10 x4+15 x6 & =5 2 x1+6 x2+8 x4+4 x5+18 x6 & =6

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o Método das Matrizes Elementares. Aqui, estamos lidando com álgebra linear, especificamente com sistemas lineares. O que precisamos fazer é transformar o sistema em uma matriz aumentada e aplicar operações elementares nas linhas para chegar à solução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada do sistema. Isso significa colocar todos os coeficientes das incógnitas nas colunas e os termos constantes na última coluna. Ficaria assim:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 2 & 6 & -5 & -2 & 4 & -3 & | & -1 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & | & 5 2 & 6 & 0 & 8 & 4 & 18 & | & 6

Passo 3

Agora, vamos simplificar essa matriz para facilitar a resolução. O objetivo é ter 1s na diagonal principal e 0s abaixo deles. Vamos começar fazendo usar o primeiro pivô, que já é 1 na primeira linha.
Vamos eliminar os 2 da segunda e quarta linhas na primeira coluna. Para isso:
  • Linha2 = Linha2 - 2 * Linha1
  • Linha4 = Linha4 - 2 * Linha1
Após essas operações, a matriz fica assim:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & -1 & -2 & 0 & -3 & | & -1 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & | & 5 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & | & 6

Passo 4

Agora, vamos pelo pivô da segunda coluna. Mas vemos que os elementos da segunda coluna abaixo do primeiro pivô são zeros, então vamos para a terceira coluna. O primeiro número não zero nessa coluna é -1 na Linha2.
Vamos multiplicar a Linha2 por -1 para que o pivô seja 1:
  • Linha2 = -1 * Linha2
A matriz fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | & 1 0 & 0 & 5 & 10 & 0 & 15 & | & 5 0 & 0 & 4 & 8 & 0 & 18 & | & 6

Passo 5

Vamos usar o pivô 1 da Linha2 para eliminar os outros números na terceira coluna. Fazemos:
  • Linha3 = Linha3 - 5 * Linha2
  • Linha4 = Linha4 - 4 * Linha2
A matriz fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 6 & | & 2

Passo 6

Agora, vamos simplificar a Linha4 dividindo por 6 para obter um pivô de 1:
  • Linha4 = (1/6) * Linha4
A matriz fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 3 & | & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13

Passo 7

Vamos agora usar o pivô 1 da Linha4 para eliminar os demais termos na sexta coluna. Na Linha2, temos 3 na sexta coluna, então:
  • Linha2 = Linha2 - 3 * Linha4
A matriz fica:
1 & 3 & -2 & 0 & 2 & 0 & | & 0 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & | & 13

Passo 8

Agora, a matriz está quase na forma reduzida. Vamos escrever as equações correspondentes:
  1. Nenhuma equação

Passo 9

Vamos resolver de trás para frente:
  • Da Linha4:
  • Da Linha2:
  • Da Linha1:
Agora, identificamos que e são variáveis livres, ou seja, podem assumir qualquer valor real.

Resposta

As soluções do sistema são dadas por:
x1 = -3x2 + 2x3 - 2x5 = -3x2 -4x4 -2x5 x2 livre x3 = -2x4 x4 livre x5 livre x6 = 13
Ou, em termos de parâmetros:
x1 = -3t -4s -2r x2 = t x3 = -2s x4 = s x5 = r x6 = 13
Onde são números reais quaisquer.

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