Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:
(a) cx1+x2=2 5 x1+6 x2=9
(b) clrx1+3 x2+x3 & = & 4 2 x1+2 x2+x3 & = & -1 2 x1+3 x2+x3 & = & 3
© clrx+y+z & = & 5 x+y-4 z & = & 10 -4 x+y+z & = & 0
(d) ccx1+2 x2+3 x3 & =b1 2 x1+5 x2+5 x3 & =b2 3 x1+5 x2+8 x3 & =b3

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações usando o método da matriz inversa. Primeiro, vamos entender o enunciado da parte (a). Temos duas equações com duas incógnitas ( x1 e x2). Para resolver esse sistema, precisamos:
  • Identificar a matriz dos coeficientes.
  • Calcular o determinante dessa matriz para verificar se ela é invertível.
  • Encontrar a matriz inversa.
  • Multiplicar a matriz inversa pelo vetor dos termos independentes para encontrar as soluções das incógnitas.

Passo 2

Para o sistema da parte (a):
x1 + x2 = 2 5x1 + 6x2 = 9
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 5 & 6
E o vetor dos termos independentes é:
B = 2 9

Passo 3

Vamos calcular o determinante da matriz A para garantir que ela é invertível. O determinante ( det(A)) de uma matriz 2 times 2 é dado por:
det(A) = (1)(6) - (5)(1) = 6 - 5 = 1
Como o determinante é diferente de zero, a matriz A é invertível.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a matriz inversa de A. Para uma matriz 2 times 2, a inversa é:
A^-1 = 1det(A) 6 & -1 -5 & 1
Substituindo o valor de det(A):
A^-1 = 1 cdot 6 & -1 -5 & 1 = 6 & -1 -5 & 1

Passo 5

Com a matriz inversa encontrada, agora multiplicamos A^-1 pelo vetor B para encontrar o vetor solução X:
X = A^-1 cdot B = 6 & -1 -5 & 1 cdot 2 9
Realizando a multiplicação:
x1 = (6)(2) + (-1)(9) = 12 - 9 = 3
x2 = (-5)(2) + (1)(9) = -10 + 9 = -1

Passo 6

Agora, vamos resolver a parte (b) do exercício. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x1, x2 e x3). Assim como na parte (a), vamos:
  • Identificar a matriz dos coeficientes.
  • Calcular o determinante para verificar a invertibilidade.
  • Encontrar a matriz inversa.
  • Multiplicar pela matriz inversa para encontrar as soluções.

Passo 7

O sistema da parte (b) é:
x1 + 3x2 + x3 = 4 2x1 + 2x2 + x3 = -1 2x1 + 3x2 + x3 = 3
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 3 & 1 2 & 2 & 1 2 & 3 & 1
E o vetor dos termos independentes é:
B = 4 -1 3

Passo 8

Calculamos o determinante de A. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é:
det(A) = 1(2 cdot 1 - 1 cdot 3) - 3(2 cdot 1 - 1 cdot 2) + 1(2 cdot 3 - 2 cdot 2) = 1(-1) - 3(0) + 1(2) = -1 + 0 + 2 = 1
Como det(A) = 1 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 9

Encontramos a matriz inversa A^-1 utilizando métodos como a regra de Cramer ou a matriz adjunta. Após calcular, obtemos:
A^-1 = 1 & 1 & -1 0 & 1 & -1 -2 & -1 & 3

Passo 10

Multiplicamos A^-1 por B para encontrar X:
X = A^-1 cdot B = 1 & 1 & -1 0 & 1 & -1 -2 & -1 & 3 cdot 4 -1 3
Calculando cada componente:
x1 = 1 cdot 4 + 1 cdot (-1) + (-1) cdot 3 = 4 -1 -3 = 0
x2 = 0 cdot 4 + 1 cdot (-1) + (-1) cdot 3 = 0 -1 -3 = -4
x3 = -2 cdot 4 + (-1) cdot (-1) + 3 cdot 3 = -8 +1 +9 = 2

Passo 11

Agora, vamos para a parte ©. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x, y e z). O processo será similar:
  • Identificar a matriz dos coeficientes.
  • Calcular o determinante.
  • Encontrar a matriz inversa.
  • Multiplicar pela inversa para obter as soluções.

Passo 12

O sistema da parte © é:
x + y + z = 5 x + y - 4z = 10 -4x + y + z = 0
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 1 & 1 1 & 1 & -4 -4 & 1 & 1
E o vetor dos termos independentes é:
B = 5 10 0

Passo 13

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1(1 cdot 1 - (-4) cdot 1) - 1(1 cdot 1 - (-4) cdot (-4)) + 1(1 cdot 1 - 1 cdot (-4)) = 1(1 +4) -1(1 -16) +1(1 +4) = 5 +15 +5 = 25
Como det(A) = 25 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 14

Encontramos a matriz inversa A^-1. Após os cálculos, obtemos:
A^-1 = 125 5 & -5 & -5 21 & 1 & 19 9 & -5 & 11

Passo 15

Multiplicamos A^-1 por B para encontrar X:
X = A^-1 cdot B = 125 5 & -5 & -5 21 & 1 & 19 9 & -5 & 11 cdot 5 10 0
Calculando cada componente:
x = 125 (5 cdot 5 + (-5) cdot 10 + (-5) cdot 0) = 125 (25 -50) = -2525 = -1
y = 125 (21 cdot 5 + 1 cdot 10 + 19 cdot 0) = 125 (105 +10) = 11525 = 4.6
z = 125 (9 cdot 5 + (-5) cdot 10 + 11 cdot 0) = 125 (45 -50) = -525 = -0.2

Passo 16

Por fim, vamos resolver a parte (d). Neste caso, as equações contêm termos b1, b2 e b3. O objetivo é expressar x1, x2 e x3 em função desses termos. O procedimento será:
  • Identificar a matriz dos coeficientes.
  • Calcular o determinante para garantir a invertibilidade.
  • Encontrar a matriz inversa.
  • Multiplicar pela matriz inversa e pelo vetor B para obter as soluções.

Passo 17

O sistema da parte (d) é:
x1 + 2x2 + 3x3 = b1 2x1 + 5x2 + 5x3 = b2 3x1 + 5x2 + 8x3 = b3
A matriz dos coeficientes é:
A = 1 & 2 & 3 2 & 5 & 5 3 & 5 & 8
E o vetor dos termos independentes é:
B = b1 b2 b3

Passo 18

Calculamos o determinante de A:
det(A) = 1(5 cdot 8 - 5 cdot 5) - 2(2 cdot 8 - 5 cdot 3) + 3(2 cdot 5 - 5 cdot 3) = 1(40 -25) -2(16 -15) +3(10 -15) = 15 -2(1) +3(-5) = 15 -2 -15 = -2
Como det(A) = -2 neq 0, a matriz é invertível.

Passo 19

Encontramos a matriz inversa A^-1:
A^-1 = 1-2 5 & -5 & 5 -1 & 2 & -1 -5 & 5 & -3 = -2.5 & 2.5 & -2.5 0.5 & -1 & 0.5 2.5 & -2.5 & 1.5

Passo 20

Multiplicamos A^-1 por B para encontrar X:
X = A^-1 cdot B = -2.5 & 2.5 & -2.5 0.5 & -1 & 0.5 2.5 & -2.5 & 1.5 cdot b1 b2 b3
Calculando cada componente:
x1 = -2.5b1 + 2.5b2 -2.5b3 = 2.5(-b1 + b2 - b3)
x2 = 0.5b1 - b2 + 0.5b3 = 0.5(b1 - 2b2 + b3)
x3 = 2.5b1 -2.5b2 +1.5b3 = 0.5(5b1 -5b2 +3b3)

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = 2.5(-b1 + b2 - b3)
x2 = 0.5(b1 - 2b2 + b3)
x3 = 0.5(5b1 -5b2 +3b3)

Exercícios relacionados

Determine a matriz inversa das seguintes matrizes, utilizando a matriz adjunta
(a)
A=(rr1 & 1 -12 & 5)
(b)
B=(rrr12 & 10 & 0 3 & 14 & 11 2 & -1 & 0)
©
C=(rrr2 & 10 & 1 6 & 3 & 3 -6 & 2 & 9)
Calcule o determinante das seguintes matrizes pelo método de Laplace.
(a)
(b)
©
A=(ll3 & 1 5 & 2)
B=(rrr2 & -3 & 3 4 & 4 & 1 2 & 1 & 2)
C=(rrrr2 & 0 & 1 & 1 0 & 3 & 3 & -1 -6 & 12 & 0 & 4 1 & -15 & 21 & 3)
Encontre condições sobre as constantes bj (a) l6 x1-4 x2=b1 3 x1-2 x2=b2
(b) cllx1-2 x2+5 x3 & =b1 4 x1-5 x2+8 x3 & = & b2 -3 x1+3 x2-3 x3 & = & b3
© cccx1-2 x2-x3 & = & b1 -4 x1+5 x2+2 x3 & = & b2 -4 x1+7 x2+4 x3 & = & b2
(d) cccx1-x2+3 x3+2 x1 & =b1 -2 x1+x2+5 x3+x1 & =b2 -3 x1+2 x2+2 x3-x1 & =b3 4 x1-3 x2+x3+3 x1 & =b4
Para cada uma das matrizes abaixo encontre a matriz LRFE B equivalente, e determine matrizes elementares E1, E2, ldots, Ek tais que E1 E2 cdots Ek A=B :
A=(ccc 1 & 4 & 1 2 & 0 & 10 8 & 1 & 5 ) A=(ccc 8 & 1 & 6 2 & -7 & 3 1 & 4 & 1 ) A=(ccc 2 & 3 & 1 2 & 1 & -1 2 & -7 & 2 )