Beleza, vamos resolver esse determinante usando a expansão de cofatores! Primeiro, o enunciado pede para calcular o determinante da seguinte matriz:
-4 & 1 & 3 2 & -2 & 4 1 & -1 & 0
Estamos lidando com determinantes de matrizes 3x3 e vamos usar a expansão de cofatores, que é uma técnica para calcular determinantes de matrizes maiores. Para isso, vamos precisar escolher uma linha ou coluna que facilite os cálculos, preferencialmente aquela com mais zeros ou números que facilitam as multiplicações.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma linha ou coluna para fazer a expansão. Observando a matriz, a terceira coluna parece razoável porque não tem muitos números complicados. Então, vamos expandir ao longo da terceira coluna.
A fórmula geral para a expansão de cofatores ao longo de uma coluna é:
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + a3jC3j
onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 3
Vamos identificar os elementos da terceira coluna e seus respectivos cofatores:
Elemento da primeira linha, terceira coluna: Cij = (-1)^i+j times Mij
Elemento da segunda linha, terceira coluna:
Elemento da terceira linha, terceira coluna:
Agora, vamos calcular cada cofator . O cofator é dado por:
onde é o menor complementar, ou seja, a matriz que sobra após remover a linha e a coluna .
Passo 4
Vamos calcular os cofatores um a um:
Cofator 2 & -2 1 & -1 :
-4 & 1 1 & -1 , -4 & 1 2 & -2
Menor complementar :
Removendo a primeira linha e a terceira coluna, ficamos com:
Calculando o determinante de :
Cofator
Cofator :
,
Menor complementar :
Removendo a segunda linha e a terceira coluna, temos:
Calculando o determinante de :
Cofator
Cofator :
,
Menor complementar :
Removendo a terceira linha e a terceira coluna, fica:
Calculando o determinante de :
Cofator
Passo 5
Agora que temos os cofatores, vamos aplicar a fórmula da expansão de cofatores na terceira coluna:
det(A) = a13C13 + a23C23 + a33C33
Substituindo os valores:
det(A) = 3 times 0 + 4 times (-3) + 0 times 6 = 0 - 12 + 0 = -12