Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
(e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse determinante juntos! O exercício pede para calcular o valor do determinante de uma matriz 3x3 usando propriedades e inspecionando diretamente. Vamos precisar entender um pouco sobre determinantes e como simplificar matrizes para facilitar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um determinante. O determinante é um número que a gente calcula a partir de uma matriz quadrada e que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Para matrizes 3x3, calcular o determinante pode parecer complicado, mas com algumas manhas dá para facilitar.
Passo 3
Observando a nossa matriz:
1 & 2 & 3 0 & 4 & 1 1 & 6 & 4
Vemos que o segundo elemento da primeira coluna é zero, o que já é uma boa dica para simplificar o cálculo. Além disso, a terceira linha tem 1, 6 e 4, o que é similar à primeira linha. Vamos explorar essas propriedades.
Passo 4
Uma propriedade útil dos determinantes é que se trocarmos duas linhas, o sinal do determinante muda. Mas, se somarmos ou subtrairmos múltiplos de uma linha para outra, o determinante não altera. Vamos usar isso para simplificar nossa matriz.
Vamos subtrair a primeira linha da terceira linha:
Linha 3 = Linha 3 - Linha 1
Assim, nossa matriz fica:
1 & 2 & 3 0 & 4 & 1 0 & 4 & 1
Passo 5
Agora, observe que as linhas 2 e 3 são iguais:
1 & 2 & 3 0 & 4 & 1 0 & 4 & 1
Uma outra propriedade dos determinantes diz que se duas linhas são iguais, o determinante é igual a zero. Isso porque a presença de linhas iguais torna a matriz “redundante”, ou seja, ela não tem um “volume” diferente de zero no espaço.
Passo 6
Portanto, pelo fato de termos duas linhas iguais na matriz, concluímos que: