Use propriedades para calcular o valor do determinante indicado, por inspeção direta. Explique seu raciocínio.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o determinante da matriz 1 & 1 & 1 3 & 0 & -2 2 & 2 & 2 usando propriedades de determinantes e fazendo uma inspeção direta. Isso significa que vamos usar algumas regras que facilitam o cálculo sem precisar expandir completamente o determinante. Para resolver isso, vamos precisar lembrar de algumas propriedades básicas dos determinantes, como a possibilidade de trocar linhas ou combinar linhas para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as linhas da matriz para ver se conseguimos simplificar de alguma forma. Observando a terceira linha , percebemos que todos os elementos são múltiplos de 2. Isso nos dá uma pista para simplificar a matriz.
Passo 3
Uma propriedade importante dos determinantes é que se multiplicarmos uma linha por um escalar 1 & 1 & 1 3 & 0 & -2 2 & 2 & 2 = 2 cdot 1 & 1 & 1 3 & 0 & -2 1 & 1 & 1 , o determinante será multiplicado por . Então, podemos fatorar o 2 da terceira linha para fora do determinante:
Passo 4
Agora, vamos observar as linhas da nova matriz. Vemos que a primeira e a terceira linha são iguais . Outra propriedade dos determinantes diz que se duas linhas de uma matriz são iguais, o determinante dela é zero.