Calcule diretamente o campo gravitacional e a força sobre uma massa
em um ponto exterior a uma esfera homogênea de matéria
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo gravitacional e a força sobre uma massa
em um ponto externo a uma esfera homogênea de matéria. Isso envolve conceitos de Lei da Gravitação Universal e Campo Gravitacional. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da gravitação de Newton e entender como o campo se comporta fora de uma distribuição esférica de massa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional
entre duas massas é dada por:
onde:
-
é a constante gravitacional, -
e são as massas, -
é a distância entre os centros das duas massas.
No caso, temos uma massa
sendo atraída por uma esfera homogênea de massa
, então
e
.
Passo 3
Para calcular o campo gravitacional
gerado pela esfera, usamos a relação entre força e campo:
Isolando
:
Esse é o campo gravitacional devido a uma massa pontual ou uma esfera homogênea quando estamos fora da esfera, graças ao teorema de Gauss para gravitação.
Passo 4
Agora, aplicando a fórmula da força gravitacional com a informação da esfera homogênea:
Aqui,
é a massa da esfera e
é a distância do centro da esfera até a massa
.
Resposta
Portanto, o campo gravitacional no ponto externo à esfera é:
E a força sobre a massa
é:
Exercícios relacionados
Calcule o potencial gravitacional de uma barra fina de comprimento
e massa
a uma distância
do centro da barra e a uma direção perpendicular à mesma. Determine o potencial a grandes distâncias do centro da barra.
(0,5 PONTOS) Qual é o calor total necessário para converter
de gelo a
em vapor de água a
?
A autoenergia gravitacional é a diferença de energia entre a situação em que o corpo está formado e a situação imaginária em que suas partes estão infinitamente dispersas. Dito de outra forma, é a energia gasta para estabelecer uma distribuição de massa (pense no análogo elétrico). Considere uma distribuição de massa uniforme e esférica. A auto energia gravitacional é o trabalho realizado contra a gravidade para trazer desde o infinito camadas infinitesimais de massa para estabelecer essa distribuição. Mostre que a variação da energia potencial da distribuição é
quando a distribuição tem raio
, massa
e é acrescentada uma camada infinitesimal de espessura
e massa
. Se a esfera de raio final
e massa
, integre o resultado e mostre que a autoenergia gravitacional é:
Utilize a equação de Poisson para encontrar o potencial gravitacional de uma distribuição esférica uniforme de raio R nos seguintes pontos: a) ponto externo à distribuição; b) dentro da distribuição. Utilize o laplaciano em coordenadas esféricas e considere de como condições de contorno o potencial nulo no infinito, contínuo na borda e não divergente na origem.