Calcule diretamente o campo gravitacional e a força sobre uma massa m em um ponto exterior a uma esfera homogênea de matéria

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular o campo gravitacional e a força sobre uma massa em um ponto externo a uma esfera homogênea de matéria. Isso envolve conceitos de Lei da Gravitação Universal e Campo Gravitacional. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula da gravitação de Newton e entender como o campo se comporta fora de uma distribuição esférica de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Lei da Gravitação Universal de Newton, que diz que a força gravitacional F = G m1 m2r^2 entre duas massas é dada por:
onde:
  • é a constante gravitacional,
  • e são as massas,
  • é a distância entre os centros das duas massas.
No caso, temos uma massa sendo atraída por uma esfera homogênea de massa , então e .

Passo 3

Para calcular o campo gravitacional F = m cdot g gerado pela esfera, usamos a relação entre força e campo:
g = Fm = G Mr^2
Isolando :
Esse é o campo gravitacional devido a uma massa pontual ou uma esfera homogênea quando estamos fora da esfera, graças ao teorema de Gauss para gravitação.

Passo 4

Agora, aplicando a fórmula da força gravitacional com a informação da esfera homogênea:
F = G M mr^2
Aqui, é a massa da esfera e é a distância do centro da esfera até a massa .

Resposta

Portanto, o campo gravitacional no ponto externo à esfera é:
g = G Mr^2
E a força sobre a massa F = G M mr^2 é:

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