Calcule o potencial gravitacional de uma barra fina de comprimento e massa a uma distância do centro da barra e a uma direção perpendicular à mesma. Determine o potencial a grandes distâncias do centro da barra.
Passo 1
Vamos calcular o potencial gravitacional de uma barra fina com comprimento e massa total , em um ponto que está a uma distância do centro da barra e perpendicular a ela. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação e integrar o potencial de cada pedacinho da barra.
Passo 2
Primeiro, imagine que a barra é dividida em pequenos pedaços infinitesimais de comprimento . A massa de cada pedacinho será , já que a massa total está distribuída uniformemente ao longo do comprimento .
Passo 3
O potencial gravitacional devido a esse pedacinho de massa em um ponto a uma distância é dado pela fórmula:
Onde é a constante gravitacional.
Passo 4
Precisamos encontrar a distância do pedacinho até o ponto onde estamos calculando o potencial. Como o ponto está perpendicular ao centro da barra, usando o teorema de Pitágoras:
Aqui, é a posição do pedacinho em relação ao centro da barra.
Passo 5
Substituindo e na expressão de , temos:
Passo 6
Para encontrar o potencial total , precisamos somar (integrar) o potencial de todos os pedacinhos ao longo de toda a barra, ou seja, de a :
Passo 7
A integral é conhecida e resulta em:
Aplicando os limites de integração:
Passo 8
Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
Passo 9
Para grandes distâncias , podemos simplificar a expressão. Nesse caso, . Substituindo essa aproximação:
Passo 10
Finalizando a simplificação para , usando que :
Resposta
O potencial gravitacional a grandes distâncias do centro da barra é aproximadamente .