Calcule o potencial gravitacional de uma barra fina de comprimento l e massa D a uma distância r do centro da barra e a uma direção perpendicular à mesma. Determine o potencial a grandes distâncias do centro da barra.

Passo 1

Vamos calcular o potencial gravitacional de uma barra fina com comprimento e massa total , em um ponto que está a uma distância do centro da barra e perpendicular a ela. Para isso, vamos usar conceitos de gravitação e integrar o potencial de cada pedacinho da barra.

Passo 2

Primeiro, imagine que a barra é dividida em pequenos pedaços infinitesimais de comprimento . A massa de cada pedacinho será , já que a massa total está distribuída uniformemente ao longo do comprimento .

Passo 3

O potencial gravitacional dV = -G dms devido a esse pedacinho de massa em um ponto a uma distância é dado pela fórmula:
Onde é a constante gravitacional.

Passo 4

Precisamos encontrar a distância s = raizx^2 + r^2 do pedacinho até o ponto onde estamos calculando o potencial. Como o ponto está perpendicular ao centro da barra, usando o teorema de Pitágoras:
Aqui, é a posição do pedacinho em relação ao centro da barra.

Passo 5

Substituindo dV = -G Dl dxraizx^2 + r^2 e na expressão de , temos:

Passo 6

Para encontrar o potencial total V = -G Dl integral-l2^l2 dxraizx^2 + r^2 , precisamos somar (integrar) o potencial de todos os pedacinhos ao longo de toda a barra, ou seja, de a :

Passo 7

A integral ln(x + raizx^2 + r^2) é conhecida e resulta em:
V = -G Dl [ ln(l2 + raiz(l2)^2 + r^2) - ln(-l2 + raiz(l2)^2 + r^2) ]
Aplicando os limites de integração:

Passo 8

Simplificando a expressão usando propriedades dos logaritmos:
V = -G Dl ln( l2 + raiz(l2)^2 + r^2-l2 + raiz(l2)^2 + r^2 )

Passo 9

Para grandes distâncias V approx -G Dl ln( r + l2r - l2 ) , podemos simplificar a expressão. Nesse caso, . Substituindo essa aproximação:

Passo 10

Finalizando a simplificação para V approx -2G Dr , usando que :

Resposta

O potencial gravitacional a grandes distâncias do centro da barra é aproximadamente .

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