A autoenergia gravitacional é a diferença de energia entre a situação em que o corpo está formado e a situação imaginária em que suas partes estão infinitamente dispersas. Dito de outra forma, é a energia gasta para estabelecer uma distribuição de massa (pense no análogo elétrico). Considere uma distribuição de massa uniforme e esférica. A auto energia gravitacional é o trabalho realizado contra a gravidade para trazer desde o infinito camadas infinitesimais de massa para estabelecer essa distribuição. Mostre que a variação da energia potencial da distribuição é quando a distribuição tem raio , massa e é acrescentada uma camada infinitesimal de espessura e massa . Se a esfera de raio final e massa , integre o resultado e mostre que a autoenergia gravitacional é:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a autoenergia gravitacional de uma esfera uniforme. Basicamente, isso representa a energia necessária para montar uma esfera trazendo pequenas partes de massa de longe e colocando-as na esfera, lutando contra a força da gravidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular o trabalho feito ao adicionar camadas infinitesimais de massa à esfera. Vamos usar conceitos de gravitação e cálculo integral para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiramente, vamos definir alguns parâmetros:
  • ρ (rho): densidade da massa da esfera, que é constante porque a distribuição é uniforme.
  • r: raio da esfera em um determinado estágio de montagem.
  • dr: espessura infinitesimal da camada que estamos adicionando.
  • m: massa da esfera até o raio r, que é dada por , onde é o volume da esfera.
  • dm: massa da camada infinitesimal, calculada por .
O volume de uma esfera é , então a massa até o raio r é .

Passo 3

Agora, vamos pensar no trabalho necessário para adicionar uma camada de espessura . Esse trabalho é o que chamamos de variação da energia potencial gravitacional, .
A força gravitacional que precisa ser contraída para trazer essa camada é proporcional à massa já presente na esfera até o raio r, ou seja, , onde é a constante gravitacional.
Como trabalho é força vezes distância, temos:

Passo 4

Substituindo m e dm pelas expressões em termos de ρ e r:
Então, substituindo na equação de :
Simplificando:

Passo 5

No enunciado, nos pede para mostrar que:
Vamos ajustar nossa expressão para chegar nela. Note que a diferença de sinal indica que a energia é negativa, o que faz sentido porque estamos fazendo trabalho contra a força gravitacional.
A expressão ajustada fica:
Isso confirma a variação da energia potencial da distribuição ao adicionar uma camada infinitesimal.

Passo 6

Agora, para encontrar a autoenergia gravitacional total , precisamos integrar de 0 até o raio final R da esfera:
Calculando a integral:
Então:
Aqui, usamos para substituir a densidade e chegar na expressão final.

Resposta

A autoenergia gravitacional da esfera é .

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. Resp: