Utilize a equação de Poisson para encontrar o potencial gravitacional de uma distribuição esférica uniforme de raio R nos seguintes pontos: a) ponto externo à distribuição; b) dentro da distribuição. Utilize o laplaciano em coordenadas esféricas e considere de como condições de contorno o potencial nulo no infinito, contínuo na borda e não divergente na origem.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição esférica uniforme de raio e precisamos encontrar o potencial gravitacional em dois casos:
a) Em um ponto fora da distribuição ( ),
b) Em um ponto dentro da distribuição ( ).
Vamos usar a equação de Poisson e o laplaciano em coordenadas esféricas. Além disso, precisamos considerar as condições de contorno: o potencial é nulo no infinito, contínuo na borda e não deve divergir na origem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Poisson para o potencial gravitacional nabla^2 Phi = 4pi G rho :
Aqui, é o operador laplaciano, é a constante gravitacional e é a densidade de massa. No nosso caso, para uma distribuição esférica uniforme, é constante dentro do raio e zero fora.

Passo 3

Em coordenadas esféricas, o laplaciano para uma função que depende apenas da distância nabla^2 Phi(r) = 1r^2 ddr ( r^2 dPhidr ) simplifica para:
1r^2 ddr ( r^2 dPhidr ) = 4pi G rho
Então, a equação de Poisson fica:

Passo 4

Vamos dividir a resolução em duas partes:
a) Fora da distribuição ( ), onde ,
b) Dentro da distribuição ( ), onde é constante.

Passo 5

a) Ponto externo à distribuição ( 1r^2 ddr ( r^2 dPhidr ) = 0 )
Como , a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace:

Passo 6

Integrando a equação de Laplace:
ddr ( r^2 dPhidr ) = C1
Onde r^2 dPhidr = C1 r + C2 é uma constante de integração. Integrando novamente:
dPhidr = C1r + C2r^2
Dividindo por Phi(r) = C1 ln(r) - C2r + C3 :
Integrando mais uma vez:
Onde é outra constante de integração.

Passo 7

Aplicamos as condições de contorno:
  1. Potencial nulo no infinito ( Phiexterno(r) = -C2r ): Isso implica que C2 = G M e Phiexterno(r) = -G Mr .
  2. Potencial contínuo na borda: Vamos usar isso mais adiante.
Portanto, a solução externa simplifica para:
Podemos reescrever em termos da massa total da esfera:
Então:

Passo 8

b) Ponto interno à distribuição ( 1r^2 ddr ( r^2 dPhidr ) = 4pi G rho )
Aqui, ddr ( r^2 dPhidr ) = 4pi G rho r^2 é constante. A equação de Poisson fica:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Integrando com relação a r^2 dPhidr = 43pi G rho r^3 + C1 :
dPhidr = 43pi G rho r + C1r^2
Dividindo por Phi(r) = 23pi G rho r^2 - C1r + C2 :
Integramos novamente:

Passo 10

Para o potencial ser não divergente na origem ( Phiinterno(r) = 23pi G rho r^2 + C2 ), o termo deve desaparecer, ou seja, .
Então, a solução interna fica:

Passo 11

Agora, aplicamos a condição de continuidade na borda ( Phiexterno(R) = Phiinterno(R) ):
-G MR = 23pi G rho R^2 + C2
Substituindo as expressões:

Passo 12

Sabemos que a massa total M = 43pi R^3 rho é:
-G ( 43pi R^3 rho )R = 23pi G rho R^2 + C2
Substituindo na equação anterior:
-43pi G rho R^2 = 23pi G rho R^2 + C2
Simplificando:
C2 = -2pi G rho R^2
Isso leva a:

Passo 13

Substituindo Phiinterno(r) = 23pi G rho r^2 - 2pi G rho R^2 na expressão do potencial interno:
Phiinterno(r) = 2pi G rho ( r^23 - R^2 )
Podemos reescrever isso como:
Mas geralmente expressamos de outra forma para facilitar a interpretação.

Passo 14

Rearranjando os termos, temos:
Phiinterno(r) = -2pi G rho R^2 + 23pi G rho r^2 = -23pi G rho (3R^2 - r^2)
Isso pode ser simplificado para:
Phiinterno(r) = -23pi G rho (3R^2 - r^2)

Resposta

O potencial gravitacional Phi(r) = -G Mr = -43pi G rho R^3r para uma distribuição esférica uniforme de raio Phi(r) = -23pi G rho (3R^2 - r^2) é dado por:
  • Para (ponto externo à distribuição):
  • Para (ponto interno à distribuição):

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