Utilize a equação de Poisson para encontrar o potencial gravitacional de uma distribuição esférica uniforme de raio R nos seguintes pontos: a) ponto externo à distribuição; b) dentro da distribuição. Utilize o laplaciano em coordenadas esféricas e considere de como condições de contorno o potencial nulo no infinito, contínuo na borda e não divergente na origem.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma distribuição esférica uniforme de raio
e precisamos encontrar o potencial gravitacional em dois casos:
a) Em um ponto fora da distribuição ( ),
b) Em um ponto dentro da distribuição ( ).
Vamos usar a equação de Poisson e o laplaciano em coordenadas esféricas. Além disso, precisamos considerar as condições de contorno: o potencial é nulo no infinito, contínuo na borda e não deve divergir na origem.
a) Em um ponto fora da distribuição (
b) Em um ponto dentro da distribuição (
Vamos usar a equação de Poisson e o laplaciano em coordenadas esféricas. Além disso, precisamos considerar as condições de contorno: o potencial é nulo no infinito, contínuo na borda e não deve divergir na origem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Poisson para o potencial gravitacional
:
Aqui,
é o operador laplaciano,
é a constante gravitacional e
é a densidade de massa. No nosso caso, para uma distribuição esférica uniforme,
é constante dentro do raio
e zero fora.
Passo 3
Em coordenadas esféricas, o laplaciano para uma função que depende apenas da distância
simplifica para:
Então, a equação de Poisson fica:
Passo 4
Vamos dividir a resolução em duas partes:
a) Fora da distribuição ( ), onde
,
b) Dentro da distribuição ( ), onde
é constante.
a) Fora da distribuição (
b) Dentro da distribuição (
Passo 5
a) Ponto externo à distribuição (
)
Como
, a equação de Poisson se reduz à equação de Laplace:
Passo 6
Integrando a equação de Laplace:
Onde
é uma constante de integração. Integrando novamente:
Dividindo por
:
Integrando mais uma vez:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Aplicamos as condições de contorno:
- Potencial nulo no infinito (
): Isso implica que e . - Potencial contínuo na borda: Vamos usar isso mais adiante.
Portanto, a solução externa simplifica para:
Podemos reescrever
em termos da massa total
da esfera:
Então:
Passo 8
b) Ponto interno à distribuição (
)
Aqui,
é constante. A equação de Poisson fica:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Integrando com relação a
:
Dividindo por
:
Integramos novamente:
Passo 10
Para o potencial ser não divergente na origem (
), o termo
deve desaparecer, ou seja,
.
Então, a solução interna fica:
Passo 11
Agora, aplicamos a condição de continuidade na borda (
):
Substituindo as expressões:
Passo 12
Sabemos que a massa total
é:
Substituindo na equação anterior:
Simplificando:
Isso leva a:
Passo 13
Substituindo
na expressão do potencial interno:
Podemos reescrever isso como:
Mas geralmente expressamos de outra forma para facilitar a interpretação.
Passo 14
Rearranjando os termos, temos:
Isso pode ser simplificado para:
Resposta
O potencial gravitacional
para uma distribuição esférica uniforme de raio
é dado por:
- Para
(ponto externo à distribuição):
- Para
(ponto interno à distribuição):
Exercícios relacionados
A autoenergia gravitacional é a diferença de energia entre a situação em que o corpo está formado e a situação imaginária em que suas partes estão infinitamente dispersas. Dito de outra forma, é a energia gasta para estabelecer uma distribuição de massa (pense no análogo elétrico). Considere uma distribuição de massa uniforme e esférica. A auto energia gravitacional é o trabalho realizado contra a gravidade para trazer desde o infinito camadas infinitesimais de massa para estabelecer essa distribuição. Mostre que a variação da energia potencial da distribuição é
quando a distribuição tem raio
, massa
e é acrescentada uma camada infinitesimal de espessura
e massa
. Se a esfera de raio final
e massa
, integre o resultado e mostre que a autoenergia gravitacional é:
Calcule diretamente o campo gravitacional e a força sobre uma massa
em um ponto exterior a uma esfera homogênea de matéria
Resolva a equação diferencial dada pelo método dos coeficientes a determinar.
. Resp:
Resolva a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas:
Resp: