Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
g)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a equação
e precisa identificar que tipo de superfície quadrática é essa e fazer um esboço do seu gráfico. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender as diferentes formas de equações quadráticas e como elas se relacionam com os gráficos que desenhamos.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação
. Vemos que ela envolve os termos quadráticos de
e
, mas com sinais diferentes. Isso já nos dá uma pista sobre o tipo de superfície que estamos lidando.
Na Geometria Analítica, quando temos uma equação da forma
, os sinais de
,
,
etc., determinam o tipo de superfície.
Passo 3
No nosso caso, a equação é
. Aqui, o coeficiente de
é positivo e o de
é negativo. Se tivermos apenas dois termos quadráticos, um positivo e outro negativo, estamos lidando com uma hipérbole.
Passo 4
Para ter certeza, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centrada na origem é:
Comparando com a nossa equação
, podemos reescrever:
Isso confirma que estamos tratando de uma hipérbole, onde
e
.
Passo 5
Agora, para esboçar o gráfico, sabemos que uma hipérbole com a diferença dos quadrados igual a uma constante positiva abre-se no eixo
. Os vértices estarão em
e
. Os assimptotas são as linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por
.
Resposta
A equação
representa uma hipérbole que se abre ao longo do eixo
. O esboço do gráfico terá vértices em
e
, com assimptotas nos eixos
e
.