Identifique a quádrica e faça um esboço de seu gráfico:
g) x^2-y^2=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação e precisa identificar que tipo de superfície quadrática é essa e fazer um esboço do seu gráfico. A matéria que vamos usar aqui é Geometria Analítica, mais especificamente o estudo das superfícies quadráticas. Para resolver, vamos precisar entender as diferentes formas de equações quadráticas e como elas se relacionam com os gráficos que desenhamos.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação . Vemos que ela envolve os termos quadráticos de e , mas com sinais diferentes. Isso já nos dá uma pista sobre o tipo de superfície que estamos lidando.
Na Geometria Analítica, quando temos uma equação da forma , os sinais de , , etc., determinam o tipo de superfície.

Passo 3

No nosso caso, a equação é . Aqui, o coeficiente de é positivo e o de é negativo. Se tivermos apenas dois termos quadráticos, um positivo e outro negativo, estamos lidando com uma hipérbole.

Passo 4

Para ter certeza, vamos lembrar que a equação padrão de uma hipérbole centrada na origem é:
x^2a^2 - y^2b^2 = 1
Comparando com a nossa equação x^23 - y^23 = 1 , podemos reescrever:
Isso confirma que estamos tratando de uma hipérbole, onde e .

Passo 5

Agora, para esboçar o gráfico, sabemos que uma hipérbole com a diferença dos quadrados igual a uma constante positiva abre-se no eixo . Os vértices estarão em e . Os assimptotas são as linhas que a hipérbole se aproxima, dadas por .

Resposta

A equação representa uma hipérbole que se abre ao longo do eixo . O esboço do gráfico terá vértices em e , com assimptotas nos eixos e .

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