Calcule a distância da reta
r:l x=1+2 t y=t z=-2+4 t
ao plano pi=3 x-2 y-z+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente precisa fazer aqui é calcular a distância entre uma reta e um plano. A reta está definida pelas equações paramétricas:
x = 1 + 2t y = t z = -2 + 4t
E o plano é dado por:
3x - 2y - z + 3 = 0
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre vetores, planos e como calcular distâncias no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano. O vetor diretor da reta são os coeficientes de v = 2 1 4 nas equações paramétricas, ou seja:
n = 3 -2 -1
Já o vetor normal do plano vem diretamente dos coeficientes de , e na equação do plano:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a reta é paralela ao plano ou se ela intersecta o plano. Isso vai depender do produto escalar entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Vamos calcular o produto escalar v cdot n = (2)(3) + (1)(-2) + (4)(-1) = 6 - 2 - 4 = 0 :
Como o produto escalar deu zero, significa que o vetor diretor da reta é ortogonal ao vetor normal do plano. Portanto, a reta é paralela ao plano.

Passo 4

Como a reta é paralela ao plano, a distância entre eles é constante e podemos calcular a distância de qualquer ponto da reta até o plano. Vamos escolher o ponto quando P(1, 0, -2) na reta, que é:

Passo 5

Para calcular a distância de um ponto d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D|raizA^2 + B^2 + C^2 até um plano , usamos a fórmula:
No nosso caso, o plano é , então , , , e . O ponto escolhido é .

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
d = |3(1) - 2(0) - 1(-2) + 3|raiz3^2 + (-2)^2 + (-1)^2 = |3 + 0 + 2 + 3|raiz9 + 4 + 1 = 8raiz14
Para simplificar, racionalizamos o denominador:
d = 8raiz14 times raiz14raiz14 = 8raiz1414 = 4raiz147

Resposta

A distância entre a reta e o plano é unidades.

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