Considere a transformação T: x A x, em que A=[cc-4 & -1 6 & 1]. Considere a base B=b1, b2 em que b1=[c-1 2] e b2=[c-1 1]. Qual a matriz que representa o operador T com respeito a base B ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz que representa o operador T, que transforma um vetor x multiplicando pela matriz A, em relação a uma base B específica. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformação T em cada vetor da base B e depois expressar os resultados nessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação T em cada vetor da base B. Isso significa multiplicar a matriz A pelos vetores b1 e b2.
Vamos calcular T(b1):
T(b1) = A cdot b1 = -4 & -1 6 & 1 cdot -1 2 = (-4)(-1) + (-1)(2) 6(-1) + 1(2) = 4 - 2 -6 + 2 = 2 -4

Passo 3

Agora, vamos calcular T(b2) da mesma forma:
T(b2) = A cdot b2 = -4 & -1 6 & 1 cdot -1 1 = (-4)(-1) + (-1)(1) 6(-1) + 1(1) = 4 - 1 -6 + 1 = 3 -5

Passo 4

Agora que temos T(b1) = 2 -4 e T(b2) = 3 -5 , precisamos expressar esses vetores como combinações lineares dos vetores da base B = b1, b2.
Ou seja, queremos encontrar escalares c11, c12, c21, c22 tais que:
T(b1) = c11 b1 + c12 b2
T(b2) = c21 b1 + c22 b2

Passo 5

Vamos começar com T(b1) = 2 -4 = c11 -1 2 + c12 -1 1 .
Isso nos dá o sistema de equações:
- c11 - c12 = 2
2 c11 + c12 = -4
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação: -c11 - c12 = 2 Rightarrow c12 = -c11 - 2
Substituindo na segunda equação:
2 c11 + (-c11 - 2) = -4 2 c11 - c11 - 2 = -4 c11 - 2 = -4 c11 = -2
Então, c12 = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para T(b2) = 3 -5 = c21 -1 2 + c22 -1 1 .
Isso nos dá:
- c21 - c22 = 3
2 c21 + c22 = -5
Resolvendo:
Da primeira equação: -c21 - c22 = 3 Rightarrow c22 = -c21 - 3
Substituindo na segunda equação:
2 c21 + (-c21 - 3) = -5 2 c21 - c21 - 3 = -5 c21 - 3 = -5 c21 = -2
Então, c22 = -(-2) - 3 = 2 - 3 = -1

Passo 7

Agora que temos os coeficientes:
  • Para T(b1): c11 = -2, c12 = 0
  • Para T(b2): c21 = -2, c22 = -1
Podemos montar a matriz de T na base B colocando esses coeficientes como colunas:
[T]B = c11 & c21 c12 & c22 = -2 & -2 0 & -1

Resposta

A matriz que representa o operador T em relação à base B é:
[T]B = -2 & -2 0 & -1

Exercícios relacionados