Considere a transformação , em que . Considere a base em que e . Qual a matriz que representa o operador com respeito a base ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz que representa o operador , que transforma um vetor multiplicando pela matriz , em relação a uma base específica. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformação em cada vetor da base e depois expressar os resultados nessa mesma base.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformação em cada vetor da base . Isso significa multiplicar a matriz pelos vetores e .
Vamos calcular :

Passo 3

Agora, vamos calcular da mesma forma:

Passo 4

Agora que temos e , precisamos expressar esses vetores como combinações lineares dos vetores da base .
Ou seja, queremos encontrar escalares tais que:

Passo 5

Vamos começar com .
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 6

Agora, vamos fazer o mesmo para .
Isso nos dá:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,

Passo 7

Agora que temos os coeficientes:
  • Para : ,
  • Para : ,
Podemos montar a matriz de na base colocando esses coeficientes como colunas:

Resposta

A matriz que representa o operador em relação à base é:

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