Considere a transformação
, em que
. Considere a base
em que
e
. Qual a matriz que representa o operador
com respeito a base
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a matriz que representa o operador
, que transforma um vetor
multiplicando pela matriz
, em relação a uma base
específica. Aqui, estamos trabalhando com transformações lineares e mudança de base. Para resolver isso, vamos precisar aplicar a transformação
em cada vetor da base
e depois expressar os resultados nessa mesma base.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformação
em cada vetor da base
. Isso significa multiplicar a matriz
pelos vetores
e
.
Vamos calcular
:
Passo 3
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Passo 4
Agora que temos
e
, precisamos expressar esses vetores como combinações lineares dos vetores da base
.
Ou seja, queremos encontrar escalares
tais que:
Passo 5
Vamos começar com
.
Isso nos dá o sistema de equações:
Resolvendo esse sistema:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 6
Agora, vamos fazer o mesmo para
.
Isso nos dá:
Resolvendo:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Então,
Passo 7
Agora que temos os coeficientes:
- Para
: , - Para
: ,
Podemos montar a matriz de
na base
colocando esses coeficientes como colunas:
Resposta
A matriz que representa o operador
em relação à base
é: