Seja a transformação linear definida por . Determine:
A matriz , em que é a base de e é base de .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma transformação linear que vai de (polinômios de grau até 3) para (polinômios de grau até 2). A transformação é definida por:
O que queremos encontrar é a matriz dessa transformação , onde:
é a base de
é a base de
Para resolver isso, precisamos:
Aplicar a transformação em cada vetor da base .
Expressar o resultado em termos da base .
Organizar esses resultados em colunas para formar a matriz desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar em cada um dos vetores da base .
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 3
Agora, precisamos expressar cada resultado em termos da base .
Vamos encontrar os coeficientes tais que:
para cada aplicado.
Para :
Resolvendo:
Isso implica:
Então, , , .
Para :
Resolvendo:
Isso implica:
Então, , , .
Para :
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, , , .
Para :
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, , , .
Passo 4
Agora, organizamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz .
Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base , expressa na base :
Resposta
A matriz da transformação com relação às bases e é: