Seja a transformação linear definida por . Determine:
A matriz , em que é a base de e é base de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma transformação linear que vai de (polinômios de grau até 3) para (polinômios de grau até 2). A transformação é definida por:
O que queremos encontrar é a matriz dessa transformação , onde:
  • é a base de
  • é a base de
Para resolver isso, precisamos:
  1. Aplicar a transformação em cada vetor da base .
  2. Expressar o resultado em termos da base .
  3. Organizar esses resultados em colunas para formar a matriz desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar em cada um dos vetores da base .
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 3

Agora, precisamos expressar cada resultado em termos da base .
Vamos encontrar os coeficientes tais que:
para cada aplicado.
  1. Para :
Resolvendo:
Isso implica:
Então, , , .
  1. Para :
Resolvendo:
Isso implica:
Então, , , .
  1. Para :
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, , , .
  1. Para :
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, , , .

Passo 4

Agora, organizamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz .
Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base , expressa na base :

Resposta

A matriz da transformação com relação às bases e é:

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre os planos:
Dadas as transformações lineares , assinale (V) ou (F) nas seguintes afirmações, justificando suas respostas: injetiva injetiva.
Verifique que todas as afirmações são verdadeiras se .
Calcule a distância da reta
ao plano .
Considere a transformação , em que . Considere a base em que e . Qual a matriz que representa o operador com respeito a base ?