Seja T: P3 P2 a transformação linear definida por T(a+b x+c x^2+d x^3)=b+2 c x+3 d x^2. Determine:
A matriz [T]beta^alpha, em que alpha=1, x, x^2, x^3 é a base de P3 e beta=1,1+x,-1+x^2 é base de P2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos fala sobre uma transformação linear T(a + b x + c x^2 + d x^3) = b + 2c x + 3d x^2 que vai de (polinômios de grau até 3) para (polinômios de grau até 2). A transformação é definida por:
O que queremos encontrar é a matriz dessa transformação , onde:
  • é a base de
  • é a base de
Para resolver isso, precisamos:
  1. Aplicar a transformação em cada vetor da base .
  2. Expressar o resultado em termos da base .
  3. Organizar esses resultados em colunas para formar a matriz desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar T(1) = T(1 + 0x + 0x^2 + 0x^3) = 0 + 2 cdot 0 x + 3 cdot 0 x^2 = 0 em cada um dos vetores da base T(x) = T(0 + 1x + 0x^2 + 0x^3) = 1 + 2 cdot 0 x + 3 cdot 0 x^2 = 1 .
  1. Para T(x^2) = T(0 + 0x + 1x^2 + 0x^3) = 0 + 2 cdot 1 x + 3 cdot 0 x^2 = 2x :
T(x^3) = T(0 + 0x + 0x^2 + 1x^3) = 0 + 2 cdot 0 x + 3 cdot 1 x^2 = 3x^2
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 3

Agora, precisamos expressar cada resultado em termos da base T(v) = a cdot 1 + b cdot (1 + x) + c cdot (-1 + x^2) .
Vamos encontrar os coeficientes 0 = a cdot 1 + b cdot (1 + x) + c cdot (-1 + x^2) tais que:
0 = a + b - c + b x + c x^2
para cada a + b - c = 0 b = 0 c = 0 aplicado.
  1. Para 1 = a cdot 1 + b cdot (1 + x) + c cdot (-1 + x^2) :
1 = a + b - c + b x + c x^2
Resolvendo:
a + b - c = 1 b = 0 c = 0
Isso implica:
2x = a cdot 1 + b cdot (1 + x) + c cdot (-1 + x^2)
Então, 2x = a + b - c + b x + c x^2 , a + b - c = 0 b = 2 c = 0 , 3x^2 = a cdot 1 + b cdot (1 + x) + c cdot (-1 + x^2) .
  1. Para 3x^2 = a + b - c + b x + c x^2 :
a + b - c = 0 b = 0 c = 3
Resolvendo:
Isso implica:
Então, , , .
  1. Para :
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, , , .
  1. Para :
Resolvendo:
Comparando os coeficientes:
Então, , , .

Passo 4

Agora, organizamos esses coeficientes em colunas para formar a matriz [T]beta^alpha = 0 & 1 & -2 & 3 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 .
Cada coluna corresponde à imagem de um vetor da base , expressa na base :

Resposta

A matriz da transformação [T]beta^alpha = 0 & 1 & -2 & 3 0 & 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 3 com relação às bases e é:

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