Calcule as distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
& 1 r: l x = 0 y = z s: l y=3 z=2 x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a distância entre as retas e no espaço tridimensional. Isso faz parte do conteúdo de Geometria Analítica, onde precisamos usar vetores diretores das retas e uma fórmula específica para encontrar essa distância.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas de cada reta.
Para a reta x = 0 y = t z = t :
r(t) = (0, t, t)
Então, podemos representar a reta y = 3 z = 2x como:
s(t) = (t, 3, 2t)
Para a reta :
Escolhendo , temos:

Passo 3

Agora, identificamos os vetores diretores de cada reta.
Para b = (0, 1, 1) , o vetor diretor é:
d = (1, 0, 2)
Para , o vetor diretor é:

Passo 4

A distância entre duas retas no espaço pode ser calculada usando a fórmula:
Distância = |(c - a) cdot (b times d)||b times d| â
Onde:
  • é um ponto na reta (vamos usar ).
  • é um ponto na reta (vamos usar ).

Passo 5

Calculamos o produto vetorial b times d = i & j & k 0 & 1 & 1 1 & 0 & 2 = i(1 cdot 2 - 1 cdot 0) - j(0 cdot 2 - 1 cdot 1) + k(0 cdot 0 - 1 cdot 1) :
= 2i + j - k
b times d = (2, 1, -1)
Então:

Passo 6

Calculamos a magnitude de |b times d| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6 :

Passo 7

Calculamos o vetor c - a = (0, 3, 0) - (0, 0, 0) = (0, 3, 0) :

Passo 8

Calculamos o produto escalar (0, 3, 0) cdot (2, 1, -1) = 0 cdot 2 + 3 cdot 1 + 0 cdot (-1) = 3 :

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
Distância = |3|raiz6 = 3raiz6 = raiz62 â

Resposta

A distância entre as retas e é unidades.

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