Em cada item, determine a equação da hipérbole que satisfaz às condições dadas e esboce-a no plano cartesiano, juntamente com suas assíntotas.
Centro na origem, eixo principal vertical e passa pelos pontos A=(4,6) e B=(1,-3).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Precisamos encontrar a equação de uma hipérbole que tem o centro na origem (0,0), com eixo principal vertical, e que passa pelos pontos e . Para resolver isso, vamos usar a equação geral da hipérbole e substituir os pontos dados para descobrir os parâmetros desconhecidos.

Passo 2

Como a hipérbole tem o centro na origem e o eixo principal é vertical, a equação padrão é:
y^2a^2 - x^2b^2 = 1
Aqui, representa a distância do centro aos vértices no eixo y, e está relacionado à inclinação das assíntotas.

Passo 3

Vamos substituir o ponto 6^2a^2 - 4^2b^2 = 1 na equação da hipérbole:
36a^2 - 16b^2 = 1 (Equação 1)
Simplificando:
çã

Passo 4

Agora, substituímos o ponto (-3)^2a^2 - 1^2b^2 = 1 na equação:
9a^2 - 1b^2 = 1 (Equação 2)
Simplificando:
çã

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. (Equação 1)
  2. (Equação 2)
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a Equação 2 para 9a^2 - 1 = 1b^2 :
36a^2 - 16(9a^2 - 1) = 1
Substituindo na Equação 1:
36a^2 - 144a^2 + 16 = 1 -108a^2 + 16 = 1 -108a^2 = -15 108a^2 = 15 a^2 = 10815 = 365
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos encontrar 9a^2 - 1b^2 = 1 usando a Equação 2:
9365 - 1b^2 = 1 4536 - 1b^2 = 1 54 - 1b^2 = 1 1b^2 = 54 - 1 = 14 b^2 = 4
Substituindo :

Passo 8

Com y^2365 - x^24 = 1 5y^236 - x^24 = 1 e , podemos escrever a equação da hipérbole:

Passo 9

Para esboçar as assíntotas da hipérbole, usamos as equações:
y = pm abx
Substituindo y = pm 6raiz52x = pm 3raiz5x e :

Resposta

A equação da hipérbole é:
y^2365 - x^24 = 1
E suas assíntotas são:
y = 3raiz5x e y = -3raiz5x

Exercícios relacionados

Para cada um dos itens abaixo determinar:
|u|,|v|
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Sejam v1=(1,0,-1), v2=(1,0,-1) e v3=(1,0,-1).
a) Mostrar que B=v1, v2, v3 é uma base do R^3
Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre u e v.
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Calcule as distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
& 1 r: l x = 0 y = z s: l y=3 z=2 x