Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre u e v.
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores e no espaço vetorial com um produto interno específico. O produto interno definido aqui é , onde significa a soma dos elementos na diagonal principal da matriz resultante. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto interno entre as matrizes e , as normas de e , e então usar esses valores para encontrar o ângulo entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como calcular o produto interno entre duas matrizes e . O produto interno dado é . Isso significa que a gente precisa:
  1. Transpor a matriz (isto é, trocar linhas por colunas).
  2. Multiplicar essa matriz transposta pela matriz .
  3. Somar os elementos da diagonal principal da matriz resultante.
Isso nos dará o valor do produto interno entre e .

Passo 3

Vamos calcular A^t = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 :
Primeiro, a transposta de A^t B = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2 :
1 times 1 + 4 times 0 + 1 times 2 = 1 + 0 + 2 = 3
Agora, multiplicamos 1 times 2 + 4 times 0 + 1 times 2 = 2 + 0 + 2 = 4 por 1 times 1 + 4 times 1 + 1 times 2 = 1 + 4 + 2 = 7 :
2 times 1 + 5 times 0 + 1 times 2 = 2 + 0 + 2 = 4
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
  • Elemento (1,1):
2 times 2 + 5 times 0 + 1 times 2 = 4 + 0 + 2 = 6
  • Elemento (1,2):
2 times 1 + 5 times 1 + 1 times 2 = 2 + 5 + 2 = 9
  • Elemento (1,3):
3 times 1 + 6 times 0 + 1 times 2 = 3 + 0 + 2 = 5
  • Elemento (2,1):
3 times 2 + 6 times 0 + 1 times 2 = 6 + 0 + 2 = 8
  • Elemento (2,2):
3 times 1 + 6 times 1 + 1 times 2 = 3 + 6 + 2 = 11
  • Elemento (2,3):
A^t B = 3 & 4 & 7 4 & 6 & 9 5 & 8 & 11
  • Elemento (3,1):
tr(A^t B) = 3 + 6 + 11 = 20
  • Elemento (3,2):
  • Elemento (3,3):
Então, a matriz é:
Agora, calculamos a traça dessa matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal:
Então, .

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas de |A| = raizlang<= A, A rang<= = raiztr(A^t A) e , que são necessárias para encontrar o ângulo entre eles. A norma de uma matriz no nosso espaço vetorial é definida como:
Vamos fazer isso para e .

Passo 5

Primeiro, calculando A^t = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 :
Calculamos A^t A = 1 & 4 & 1 2 & 5 & 1 3 & 6 & 1 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1 .
Transposta de 1 times 1 + 4 times 4 + 1 times 1 = 1 + 16 + 1 = 18 :
2 times 2 + 5 times 5 + 1 times 1 = 4 + 25 + 1 = 30
Multiplicando 3 times 3 + 6 times 6 + 1 times 1 = 9 + 36 + 1 = 46 por tr(A^t A) = 18 + 30 + 46 = 94 :
|A| = raiz94 approx 9.695
Calculando cada elemento:
  • Elemento (1,1):
B^t = 1 & 0 & 2 2 & 0 & 2 1 & 1 & 2
  • Elemento (2,2):
B^t B = 1 & 0 & 2 2 & 0 & 2 1 & 1 & 2 1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2
  • Elemento (3,3):
1 times 1 + 0 times 0 + 2 times 2 = 1 + 0 + 4 = 5
A traça é:
2 times 2 + 0 times 0 + 2 times 2 = 4 + 0 + 4 = 8
1 times 1 + 1 times 1 + 2 times 2 = 1 + 1 + 4 = 6
Agora, calculando tr(B^t B) = 5 + 8 + 6 = 19 :
Calculamos |B| = raiz19 approx 4.359 .
Transposta de :
Multiplicando por :
Calculando cada elemento:
  • Elemento (1,1):
  • Elemento (2,2):
  • Elemento (3,3):
A traça é:

Passo 6

Agora que temos cos theta = lang<= A, B rang<=|A| |B| , theta = arccos( lang<= A, B rang<=|A| |B| ) e , podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores e :

Passo 7

Vamos calcular cos theta = 209.695 times 4.359 approx 2042.213 approx 0.473 :
theta = arccos(0.473) approx 61.8^circ
Agora, encontramos o ângulo :

Resposta

O ângulo entre e é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Em cada item, determine a equação da hipérbole que satisfaz às condições dadas e esboce-a no plano cartesiano, juntamente com suas assíntotas.
Centro na origem, eixo principal vertical e passa pelos pontos A=(4,6) e B=(1,-3).
Para cada um dos itens abaixo determinar:
|u|,|v|
V=M2 times 2(R), com produto interno lang<= A, Brang<==tr(A^t B), A=(lll1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 1 & 1 & 1) e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Calcule as distância entre as retas r e s nos seguintes casos:
& 1 r: l x = 0 y = z s: l y=3 z=2 x
Em cada um dos itens abaixo determinar d(u, v).
V=R^3 com o produto interno usual, u=(1,1,0), v=(0, 34, 3).