Para cada um dos itens abaixo determinar:
o ângulo entre e . , com produto interno e B=(lll1 & 2 & 1 0 & 0 & 1 2 & 2 & 2).
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre dois vetores e no espaço vetorial com um produto interno específico. O produto interno definido aqui é , onde significa a soma dos elementos na diagonal principal da matriz resultante. Para resolver isso, vamos precisar calcular o produto interno entre as matrizes e , as normas de e , e então usar esses valores para encontrar o ângulo entre elas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como calcular o produto interno entre duas matrizes e . O produto interno dado é . Isso significa que a gente precisa:
Transpor a matriz (isto é, trocar linhas por colunas).
Multiplicar essa matriz transposta pela matriz .
Somar os elementos da diagonal principal da matriz resultante.
Isso nos dará o valor do produto interno entre e .
Agora, multiplicamos 1 times 2 + 4 times 0 + 1 times 2 = 2 + 0 + 2 = 4 por 1 times 1 + 4 times 1 + 1 times 2 = 1 + 4 + 2 = 7 :
2 times 1 + 5 times 0 + 1 times 2 = 2 + 0 + 2 = 4
Vamos calcular cada elemento da matriz resultante:
Elemento (1,1):
2 times 2 + 5 times 0 + 1 times 2 = 4 + 0 + 2 = 6
Elemento (1,2):
2 times 1 + 5 times 1 + 1 times 2 = 2 + 5 + 2 = 9
Elemento (1,3):
3 times 1 + 6 times 0 + 1 times 2 = 3 + 0 + 2 = 5
Elemento (2,1):
3 times 2 + 6 times 0 + 1 times 2 = 6 + 0 + 2 = 8
Elemento (2,2):
3 times 1 + 6 times 1 + 1 times 2 = 3 + 6 + 2 = 11
Elemento (2,3):
A^t B = 3 & 4 & 7 4 & 6 & 9 5 & 8 & 11
Elemento (3,1):
tr(A^t B) = 3 + 6 + 11 = 20
Elemento (3,2):
Elemento (3,3):
Então, a matriz é:
Agora, calculamos a traça dessa matriz, ou seja, a soma dos elementos da diagonal principal:
Então, .
Passo 4
Agora, vamos calcular as normas de |A| = raizlang<= A, A rang<= = raiztr(A^t A) e , que são necessárias para encontrar o ângulo entre eles. A norma de uma matriz no nosso espaço vetorial é definida como:
Agora que temos cos theta = lang<= A, B rang<=|A| |B| , theta = arccos( lang<= A, B rang<=|A| |B| ) e , podemos usar a fórmula para encontrar o ângulo entre os vetores e :
Passo 7
Vamos calcular cos theta = 209.695 times 4.359 approx 2042.213 approx 0.473 :