Calcule a distância entre as retas reversas r e s, sendo: r : X = (- 1, 2, 0) + λ (1, 3, 1), λ ∈ R e s: 3 x − 2 z − 3 = 0 y − z − 2 = 0
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional que são chamadas de retas reversas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, produto vetorial e a fórmula para a distância entre retas. Vamos precisar transformar as equações das retas para formas que facilitem nossos cálculos e aplicar a teoria passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
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A reta $ r $ está na forma paramétrica:Aqui, o ponto $ (-1, 2, 0) $ está na reta $ r $ e o vetor $ \mathbf{u} = (1, 3, 1) $ é o vetor diretor da reta $ r $.
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A reta $ s $ está definida por duas equações:Vamos reescrever essas equações para encontrar o vetor diretor da reta $ s $ e um ponto que está nela.
Passo 3
Para encontrar uma representação paramétrica da reta $ s $, podemos usar uma das variáveis como parâmetro. Vamos resolver as equações para expressar $ x $ e $ y $ em função de $ z $.
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Agora, podemos deixar $ z = t $, onde $ t $ é o parâmetro. Assim, a parametrização da reta $ s $ fica:
Portanto, o vetor diretor da reta $ s $ é $ \mathbf{v} = \left(\frac{2}{3}, 1, 1\right) $.
Passo 4
Agora que temos as formas paramétricas das retas $ r $ e $ s $, podemos identificar:
Para a reta $ r $:
Para a reta $ s $:
Agora, vamos encontrar um vetor que liga os pontos $ A $ e $ B $:
Passo 5
Para calcular a distância entre as retas $ r $ e $ s $, usamos a fórmula da distância entre duas retas no espaço:
Onde:
- $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ são os vetores diretores das retas $ r $ e $ s $, respectivamente.
- $ \times $ representa o produto vetorial.
- $ \cdot $ representa o produto escalar.
- $ \mathbf{w} $ é o vetor que conecta um ponto de $ r $ a um ponto de $ s $.
Passo 6
Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $:
Passo 7
Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $:
Passo 8
Também precisamos do módulo do produto vetorial $ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| $:
Passo 9
Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
Resposta
A distância entre as retas $ r $ e $ s $ é $ \dfrac{6 \sqrt{46}}{23} $ unidades.