Calcule a distância entre as retas reversas r e s, sendo: r : X = (- 1, 2, 0) + λ (1, 3, 1), λ ∈ R e s: 3 x − 2 z − 3 = 0 y − z − 2 = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional que são chamadas de retas reversas. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores, produto vetorial e a fórmula para a distância entre retas. Vamos precisar transformar as equações das retas para formas que facilitem nossos cálculos e aplicar a teoria passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações das retas dadas:
  • A reta $ r $ está na forma paramétrica:
    r
    Aqui, o ponto $ (-1, 2, 0) $ está na reta $ r $ e o vetor $ \mathbf{u} = (1, 3, 1) $ é o vetor diretor da reta $ r $.
  • A reta $ s $ está definida por duas equações:
    X = (-1, 2, 0) + lambda (1, 3, 1), lambda in R
    Vamos reescrever essas equações para encontrar o vetor diretor da reta $ s $ e um ponto que está nela.

Passo 3

Para encontrar uma representação paramétrica da reta $ s $, podemos usar uma das variáveis como parâmetro. Vamos resolver as equações para expressar $ x $ e $ y $ em função de $ z $.
Da segunda equação:
s
Da primeira equação:
x
Agora, podemos deixar $ z = t $, onde $ t $ é o parâmetro. Assim, a parametrização da reta $ s $ fica:
y
Portanto, o vetor diretor da reta $ s $ é $ \mathbf{v} = \left(\frac{2}{3}, 1, 1\right) $.

Passo 4

Agora que temos as formas paramétricas das retas $ r $ e $ s $, podemos identificar:
Para a reta $ r $:
r
Para a reta $ s $:
s
Agora, vamos encontrar um vetor que liga os pontos $ A $ e $ B $:
r

Passo 5

Para calcular a distância entre as retas $ r $ e $ s $, usamos a fórmula da distância entre duas retas no espaço:
r
Onde:
  • $ \mathbf{u} $ e $ \mathbf{v} $ são os vetores diretores das retas $ r $ e $ s $, respectivamente.
  • $ \times $ representa o produto vetorial.
  • $ \cdot $ representa o produto escalar.
  • $ \mathbf{w} $ é o vetor que conecta um ponto de $ r $ a um ponto de $ s $.

Passo 6

Primeiro, vamos calcular o produto vetorial $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} $:
u times v
u = (1, 3, 1) e v = (23, 1, 1)
u times v = i & j & k 1 & 3 & 1 23 & 1 & 1 = i(3 cdot 1 - 1 cdot 1) - j(1 cdot 1 - 23 cdot 1) + k(1 cdot 1 - 23 cdot 3)
= i(3 - 1) - j(1 - 23) + k(1 - 2)

Passo 7

Agora, vamos calcular o produto escalar $ \mathbf{u} \times \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} $:
u times v cdot w
w = (2, 0, 0)

Passo 8

Também precisamos do módulo do produto vetorial $ |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| $:
|u times v|

Passo 9

Finalmente, aplicando a fórmula da distância:
d = |u times v cdot w||u times v| = 4raiz463 = 4 cdot 3raiz46 = 12raiz46 = 12 raiz4646 = 6 raiz4623

Resposta

A distância entre as retas $ r $ e $ s $ é $ \dfrac{6 \sqrt{46}}{23} $ unidades.

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