Calcule a distância entre as retas nos seguintes casos. r1: x=2-t
y=3+t
z=1-2 t
r2: x=t
y=-1-3 t
z=2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a distância entre duas retas no espaço tridimensional. Isso entra na matéria de Geometria Analítica, onde vamos usar conceitos como equações paramétricas de retas e vetores. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a distância entre retas que não se intersectam nem são paralelas, também chamadas de retas “seminternas”.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as equações paramétricas de cada reta e extrair os vetores diretores delas. As equações são:
Reta 1 ( r1):
x = 2 - t y = 3 + t z = 1 - 2t
Reta 2 ( r2):
x = t y = -1 - 3t z = 2t
O vetor diretor de uma reta é dado pelos coeficientes de t em cada equação paramétrica. Então:
Vetor diretor de r1 ( v1): (-1, 1, -2)
Vetor diretor de r2 ( v2): (1, -3, 2)

Passo 3

Agora, vamos achar um vetor que seja perpendicular a ambos os vetores diretores das retas. Para isso, usamos o produto vetorial entre v1 e v2:
n = v1 times v2
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular às duas retas, que será útil para calcular a distância entre elas.

Passo 4

Vamos calcular esse produto vetorial:
n = i & j & k -1 & 1 & -2 1 & -3 & 2
Calculando:
n = i(1 cdot 2 - (-2) cdot (-3)) - j((-1) cdot 2 - (-2) cdot 1) + k((-1) cdot (-3) - 1 cdot 1)
Simplificando:
n = i(2 - 6) - j(-2 - (-2)) + k(3 - 1) = i(-4) - j(0) + k(2)
Então:
n = (-4, 0, 2)

Passo 5

Agora, vamos escolher um ponto em cada reta para criar um vetor entre esses pontos. Por simplicidade, escolhemos t=0:
Ponto em r1 ( P): (2, 3, 1)
Ponto em r2 ( Q): (0, -1, 0)
O vetor PQ é:
PQ = Q - P = (0 - 2, -1 - 3, 0 - 1) = (-2, -4, -1)

Passo 6

A distância d entre as duas retas é dada pela fórmula:
d = |PQ cdot n||n|
Primeiro, calculamos o produto escalar PQ cdot n:
PQ cdot n = (-2)(-4) + (-4)(0) + (-1)(2) = 8 + 0 - 2 = 6
Agora, a magnitude de n:
|n| = raiz(-4)^2 + 0^2 + 2^2 = raiz16 + 0 + 4 = raiz20 = 2raiz5
Finalmente, a distância:
d = |6|2raiz5 = 62raiz5 = 3raiz5 = 3raiz55

Resposta

A distância entre as duas retas é dfrac3raiz55 unidades.

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