Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x yx y^3-y^2 x^4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar as derivadas parciais da função . Isso faz parte da matéria de Cálculo Diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar usar a regra do quociente e lembrar como derivar em relação a e .

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer que é uma função de duas variáveis, e . Para achar as derivadas parciais, vamos derivar essa função separadamente em relação a e em relação a , tratando a outra variável como constante em cada caso.

Passo 3

Vamos começar encontrando a derivada parcial de f = uv - uvv^2 em relação a , ou seja, .
A função é um quociente, então vamos usar a regra do quociente, que diz que se , então:
Aqui, e .

Passo 4

Primeiro, derivamos u = x y implies partial upartial x = y em relação a v = x y^3 - y^2 x^4 implies partial vpartial x = y^3 - 4 y^2 x^3 :
Depois, derivamos em relação a :

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial x = (y)(x y^3 - y^2 x^4) - (x y)(y^3 - 4 y^2 x^3)(x y^3 - y^2 x^4)^2
Agora, vamos simplificar o numerador.

Passo 6

Simplificando o numerador:
y(x y^3 - y^2 x^4) - x y (y^3 - 4 y^2 x^3) = x y^4 - y^3 x^4 - x y^4 + 4 y^3 x^4 = 3 y^3 x^4
Então, a derivada parcial fica:
partial fpartial x = 3 y^3 x^4(x y^3 - y^2 x^4)^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, .
Novamente, usamos a regra do quociente. Desta vez, tratamos como constante.

Passo 8

Derivando u = x y implies partial upartial y = x em relação a v = x y^3 - y^2 x^4 implies partial vpartial y = 3 x y^2 - 2 x^4 y :
Derivando em relação a :

Passo 9

Aplicando a regra do quociente:
partial fpartial y = (x)(x y^3 - y^2 x^4) - (x y)(3 x y^2 - 2 x^4 y)(x y^3 - y^2 x^4)^2
Vamos simplificar o numerador.

Passo 10

Simplificando o numerador:
x(x y^3 - y^2 x^4) - x y (3 x y^2 - 2 x^4 y) = x^2 y^3 - x y^2 x^4 - 3 x^2 y^3 + 2 x^5 y^3 = -2 x^2 y^3 + 2 x^5 y^3 = 2 x^2 y^3 (x^3 - 1)
Então, a derivada parcial fica:
partial fpartial y = 2 x^2 y^3 (x^3 - 1)(x y^3 - y^2 x^4)^2

Resposta

As derivadas parciais da função são:
partial fpartial x = 3 y^3 x^4(x y^3 - y^2 x^4)^2
e
partial fpartial y = 2 x^2 y^3 (x^3 - 1)(x y^3 - y^2 x^4)^2

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