Seja o operador linear no definido por .
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalhar com um operador linear no espaço definido por . A gente precisa encontrar a coordenada de na base , usando a matriz do operador . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador linear, como representar esse operador em uma base específica e como aplicar essa representação para encontrar a coordenada desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Basicamente, é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro de forma que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso, está mapeando vetores de para .
Passo 3
Agora, precisamos representar esse operador linear como uma matriz na base . A matriz é a representação de na base para o domínio e o contradomínio. Para isso, a gente precisa saber quais são os vetores que formam a base . Como o enunciado não especifica a base, vamos assumir que é a base canônica de , ou seja, , onde:
Passo 4
Com a base canônica, para encontrar a matriz , aplicamos a cada vetor da base e colocamos os resultados como colunas na matriz. Vamos fazer isso passo a passo:
Passo 5
Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz :
Passo 6
Com a matriz do operador pronta, vamos encontrar T(1, 0, -1) = (2*0 + (-1), 1 - 4*0, 3*1) = (-1, 1, 3) . Primeiro, aplicamos ao vetor :
Passo 7
Agora, para encontrar as coordenadas de [T(1, 0, -1)]B = -1 1 3 na base , que é a base canônica, basta observar que as coordenadas são os próprios componentes do vetor. Portanto:
Resposta
A coordenada de [T(1, 0, -1)]B = -1 1 3 na base é: