Seja T o operador linear no R^3 definido por T(x, y, z)=(2 y+z, x-4 y, 3 x).
Encontre [T(1,0,-1)]B utilizando [T]B^B.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para trabalhar com um operador linear no espaço definido por . A gente precisa encontrar a coordenada de na base , usando a matriz do operador . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um operador linear, como representar esse operador em uma base específica e como aplicar essa representação para encontrar a coordenada desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um operador linear. Basicamente, é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro de forma que respeita as operações de adição e multiplicação por escalar. No caso, está mapeando vetores de para .

Passo 3

Agora, precisamos representar esse operador linear como uma matriz na base . A matriz é a representação de na base para o domínio e o contradomínio. Para isso, a gente precisa saber quais são os vetores que formam a base . Como o enunciado não especifica a base, vamos assumir que é a base canônica de , ou seja, , onde:

Passo 4

Com a base canônica, para encontrar a matriz , aplicamos a cada vetor da base e colocamos os resultados como colunas na matriz. Vamos fazer isso passo a passo:

Passo 5

Agora, colocamos esses resultados como colunas na matriz [T]B^B = 0 & 2 & 1 1 & -4 & 0 3 & 0 & 0 :

Passo 6

Com a matriz do operador pronta, vamos encontrar T(1, 0, -1) = (2*0 + (-1), 1 - 4*0, 3*1) = (-1, 1, 3) . Primeiro, aplicamos ao vetor :

Passo 7

Agora, para encontrar as coordenadas de [T(1, 0, -1)]B = -1 1 3 na base , que é a base canônica, basta observar que as coordenadas são os próprios componentes do vetor. Portanto:

Resposta

A coordenada de [T(1, 0, -1)]B = -1 1 3 na base é:

Exercícios relacionados

Calcule a distância entre as retas nos seguintes casos. r1: x=2-t
y=3+t
z=1-2 t
r2: x=t
y=-1-3 t
z=2 t
Classificar as cônicas de equações seguintes, calculando as coordenados do centro (ou vértice) e indicando suas posições em relação aos eixos coordenados, QUANDO POSSÍVEL.
(d) C: 4 x^2-y^2-8 x-6 y-1=0.
Obtenha as derivadas parciais das seguintes funções:
f(x, y)=x yx y^3-y^2 x^4
Seja T a transformação linear associada a matriz (rrr1 & 0 & 2 3 & 0 & -1 2 & 0 & 0).
Determine a matriz associada a T em relação a base (1,2,0),(0,-1,1),(0,1,2).