Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar para o qual o campo vetorial é o gradiente. .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial dado: . Se o rotacional der zero, vamos tentar encontrar uma função escalar tal que seja o gradiente de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como divergente, rotacional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente do campo . A divergente de um campo vetorial é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • (porque é tratado como constante em relação a )
  • (porque nem nem dependem de )
  • (porque é tratado como constante em relação a )
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de . O rotacional de um campo vetorial é dado por:
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
  2. Segunda componente:
  3. Terceira componente:
Assim, o rotacional é:

Passo 4

Como o rotacional deu zero, isso significa que o campo é conservativo. Portanto, existe uma função escalar tal que . Vamos encontrar essa função .
Sabemos que:
Vamos integrar cada componente:
  1. Integrando a primeira componente em relação a :
  2. Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda componente:
    Integrando isso em relação a :
  3. Finalmente, derivamos em relação a e igualamos à terceira componente:
    Isso significa que é uma constante, que podemos chamar de .
Então, a função escalar é:

Resposta

A divergente do campo é zero, o rotacional também é zero, e a função escalar tal que é:
Onde é uma constante.

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Em relação ao que se afirma a respeito da separação silábica da palavra transatlântico, contida no trecho acima, assinale a alternativa correta.
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