Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar
para o qual o campo vetorial é o gradiente.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial dado:
. Se o rotacional der zero, vamos tentar encontrar uma função escalar
tal que
seja o gradiente de
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como divergente, rotacional e gradiente.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergente do campo
. A divergente de um campo vetorial
é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
(porque é tratado como constante em relação a ) -
(porque nem nem dependem de ) -
(porque é tratado como constante em relação a )
Somando tudo:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos calcular cada componente:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Assim, o rotacional é:
Passo 4
Como o rotacional deu zero, isso significa que o campo
é conservativo. Portanto, existe uma função escalar
tal que
. Vamos encontrar essa função
.
Sabemos que:
Vamos integrar cada componente:
-
Integrando a primeira componente em relação a
: -
Agora, derivamos
em relação a e igualamos à segunda componente: Integrando isso em relação a: -
Finalmente, derivamos
em relação a e igualamos à terceira componente: Isso significa queé uma constante, que podemos chamar de .
Então, a função escalar
é:
Resposta
A divergente do campo
é zero, o rotacional também é zero, e a função escalar
tal que
é:
Onde
é uma constante.