Calcule o divergente e o rotacional de cada um dos seguintes campos vetoriais. Se o rotacional for nulo, tente descobrir a função escalar phi para o qual o campo vetorial é o gradiente. Gx=2 y ; Gy=2 x+3 z ; Gz=3 y.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a divergente e o rotacional do campo vetorial dado: . Se o rotacional der zero, vamos tentar encontrar uma função escalar tal que seja o gradiente de . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial como divergente, rotacional e gradiente.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergente do campo nabla cdot G = partial Gxpartial x + partial Gypartial y + partial Gzpartial z . A divergente de um campo vetorial nabla cdot G = 0 + 0 + 0 = 0 é dada por:
Vamos calcular cada derivada parcial:
  • (porque é tratado como constante em relação a )
  • (porque nem nem dependem de )
  • (porque é tratado como constante em relação a )
Somando tudo:

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional de nabla times G = ( partial Gzpartial y - partial Gypartial z, partial Gxpartial z - partial Gzpartial x, partial Gypartial x - partial Gxpartial y ) . O rotacional de um campo vetorial partial Gzpartial y - partial Gypartial z = partial (3y)partial y - partial (2x + 3z)partial z = 3 - 3 = 0 é dado por:
partial Gxpartial z - partial Gzpartial x = partial (2y)partial z - partial (3y)partial x = 0 - 0 = 0
Vamos calcular cada componente:
  1. Primeira componente:
    partial Gypartial x - partial Gxpartial y = partial (2x + 3z)partial x - partial (2y)partial y = 2 - 2 = 0
  2. Segunda componente:
    nabla times G = (0, 0, 0)
  3. Terceira componente:
Assim, o rotacional é:

Passo 4

Como o rotacional deu zero, isso significa que o campo nabla phi = ( partial phipartial x, partial phipartial y, partial phipartial z ) = (2y, 2x + 3z, 3y) é conservativo. Portanto, existe uma função escalar partial phipartial x = 2y Rightarrow phi = 2xy + f(y, z) tal que partial phipartial y = 2x + partial fpartial y = 2x + 3z Rightarrow partial fpartial y = 3z . Vamos encontrar essa função f(y, z) = 3zy + g(z) .
Sabemos que:
partial phipartial z = 3y + partial gpartial z = 3y Rightarrow partial gpartial z = 0
Vamos integrar cada componente:
  1. Integrando a primeira componente em relação a phi = 2xy + 3zy + C :
  2. Agora, derivamos em relação a e igualamos à segunda componente:
    Integrando isso em relação a :
  3. Finalmente, derivamos em relação a e igualamos à terceira componente:
    Isso significa que é uma constante, que podemos chamar de .
Então, a função escalar é:

Resposta

A divergente do campo phi = 2xy + 3zy + C é zero, o rotacional também é zero, e a função escalar tal que é:
Onde é uma constante.

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