Pelo método das imagens, ache o potencial e o campo elétrico, em todo o espaço, devido a uma carga e um plano condutor aterrado, separados por uma distância .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o potencial elétrico e o campo elétrico em todo o espaço, causados por uma carga e um plano condutor aterrado, que estão separados por uma distância . Para isso, vamos usar o método das imagens, que é uma técnica da eletrostática. Nós vamos precisar entender um pouco sobre potencial elétrico, campo elétrico e como usar imagens para resolver problemas com condutores.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a situação: temos uma carga perto de um plano condutor que está aterrado (ou seja, seu potencial é zero). Para facilitar a resolução, o método das imagens nos ajuda a substituir o plano condutor por uma imagem fictícia da carga, garantindo que as condições de contorno sejam satisfeitas.

Passo 3

No método das imagens, para um plano condutor aterrado, colocamos uma carga imagem do lado oposto do plano, à mesma distância , mas com sinal invertido. Assim, se a carga real é a uma distância do plano, a carga imagem será a uma distância do plano, refletida no outro lado.

Passo 4

Agora, vamos calcular o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço usando as cargas e . O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
onde é a distância do ponto à carga real e é a distância do ponto à carga imagem.

Passo 5

Para encontrar o campo elétrico , vamos usar a relação entre o campo e o potencial:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Assim, precisamos calcular as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais para encontrar os componentes do campo elétrico.

Passo 6

Vamos resumir: colocando a carga imagem a uma distância do plano, garantimos que o potencial no plano condutor seja zero (já que no plano). Portanto, o potencial e o campo elétrico no espaço podem ser calculados como se houvesse duas cargas no espaço livre, uma real e uma imagem.

Resposta

Portanto, o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço é dado por:
E o campo elétrico é:
Onde e são as distâncias do ponto considerado às cargas e , respectivamente, e e são os vetores unitários nessas direções.

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Uma carga puntiforme encontra-se no prolongamento do eixo de um dipolo com cargas e separadas por uma distância . A carga se situa a uma distância do dipolo com . Primeiro Semestre - 2016 Calcule a força exercida pela carga no campo eletrostático do dipolo.
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Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de , a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, . Se for assim, determine o campo elétrico como função de . Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático , sujeito à restrição . sendo uma constante para e para .