Pelo método das imagens, ache o potencial e o campo elétrico, em todo o espaço, devido a uma carga
e um plano condutor aterrado, separados por uma distância
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para a gente encontrar o potencial elétrico e o campo elétrico em todo o espaço, causados por uma carga
e um plano condutor aterrado, que estão separados por uma distância
. Para isso, vamos usar o método das imagens, que é uma técnica da eletrostática. Nós vamos precisar entender um pouco sobre potencial elétrico, campo elétrico e como usar imagens para resolver problemas com condutores.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a situação: temos uma carga
perto de um plano condutor que está aterrado (ou seja, seu potencial é zero). Para facilitar a resolução, o método das imagens nos ajuda a substituir o plano condutor por uma imagem fictícia da carga, garantindo que as condições de contorno sejam satisfeitas.
Passo 3
No método das imagens, para um plano condutor aterrado, colocamos uma carga imagem
do lado oposto do plano, à mesma distância
, mas com sinal invertido. Assim, se a carga real é
a uma distância
do plano, a carga imagem será
a uma distância
do plano, refletida no outro lado.
Passo 4
Agora, vamos calcular o potencial elétrico
em qualquer ponto do espaço usando as cargas
e
. O potencial elétrico devido a uma carga pontual é dado por:
onde
é a distância do ponto à carga real e
é a distância do ponto à carga imagem.
Passo 5
Para encontrar o campo elétrico
, vamos usar a relação entre o campo e o potencial:
Isso significa que o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Assim, precisamos calcular as derivadas parciais do potencial em relação às coordenadas espaciais para encontrar os componentes do campo elétrico.
Passo 6
Vamos resumir: colocando a carga imagem
a uma distância
do plano, garantimos que o potencial no plano condutor seja zero (já que
no plano). Portanto, o potencial e o campo elétrico no espaço podem ser calculados como se houvesse duas cargas no espaço livre, uma real e uma imagem.
Resposta
Portanto, o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço é dado por:
E o campo elétrico é:
Onde
e
são as distâncias do ponto considerado às cargas
e
, respectivamente, e
e
são os vetores unitários nessas direções.