Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de , a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, . Se for assim, determine o campo elétrico como função de . Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático , sujeito à restrição . sendo uma constante para e para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga depende apenas da distância do centro. Basicamente, temos que . A gente precisa descobrir o campo elétrico nessa distribuição e depois integrar para achar o potencial eletrostático , considerando que . A densidade de carga é dada por para e para , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico . A Lei de Gauss diz que:
Como a distribuição é esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio . A simetria nos diz que é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana. Então, a integral de superfície fica:
Daí, podemos resolver para :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga encerrada dentro da superfície gaussiana de raio . Isso depende se é menor ou maior que .
Para :
A densidade é . A carga encerrada é a integral da densidade sobre o volume da esfera de raio :
Para :
A densidade é zero, então a carga encerrada é a carga total da esfera de raio :

Passo 4

Agora, vamos substituir na expressão do campo elétrico.
Para :
Então, é constante dentro da esfera.
Para :
Portanto, fora da esfera, o campo elétrico cai com .

Passo 5

Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial . Sabemos que:
Vamos fazer essa integração em duas partes: dentro e fora da esfera.
Para :
Primeira integral:
Segunda integral:
Então, para :
Para :
Já sabemos a primeira parte:
Segunda integral:
Então, para :

Resposta

O potencial eletrostático é dado por:

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