Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de
, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras,
. Se
for assim, determine o campo elétrico como função de
. Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático
, sujeito à restrição
.
sendo
uma constante para
e
para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga depende apenas da distância
do centro. Basicamente, temos que
. A gente precisa descobrir o campo elétrico
nessa distribuição e depois integrar para achar o potencial eletrostático
, considerando que
. A densidade de carga é dada por
para
e
para
, onde
é uma constante.
Passo 2
Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico
. A Lei de Gauss diz que:
Como a distribuição é esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio
. A simetria nos diz que
é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana. Então, a integral de superfície fica:
Daí, podemos resolver para
:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a carga encerrada
dentro da superfície gaussiana de raio
. Isso depende se
é menor ou maior que
.
Para
:
A densidade é
. A carga encerrada é a integral da densidade sobre o volume da esfera de raio
:
Para
:
A densidade é zero, então a carga encerrada é a carga total da esfera de raio
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
na expressão do campo elétrico.
Para
:
Então,
é constante dentro da esfera.
Para
:
Portanto, fora da esfera, o campo elétrico cai com
.
Passo 5
Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial
. Sabemos que:
Vamos fazer essa integração em duas partes: dentro e fora da esfera.
Para
:
Primeira integral:
Segunda integral:
Então, para
:
Para
:
Já sabemos a primeira parte:
Segunda integral:
Então, para
:
Resposta
O potencial eletrostático
é dado por: