Uma distribuição esférica de carga tem uma densidade de carga volumétrica que é função apenas de r, a distância desde o centro da distribuição. Em outras palavras, rho=rho(r). Se rho(r) for assim, determine o campo elétrico como função de r. Integre o resultado para pbter uma expressão para o potencial eletrostático varphi(r), sujeito à restrição varphi(infty)=0. rho=A / r sendo A uma constante para 0 <= r <= R e rho=0 para r>R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma distribuição esférica de carga onde a densidade de carga depende apenas da distância do centro. Basicamente, temos que . A gente precisa descobrir o campo elétrico nessa distribuição e depois integrar para achar o potencial eletrostático , considerando que . A densidade de carga é dada por para e para , onde é uma constante.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei de Gauss para encontrar o campo elétrico ointGauss E cdot dA = Qencvarepsilon0 . A Lei de Gauss diz que:
E(r) cdot 4pi r^2 = Qencvarepsilon0
Como a distribuição é esférica, vamos escolher uma superfície gaussiana esférica de raio E(r) = Qenc4pi varepsilon0 r^2 . A simetria nos diz que é radial e tem o mesmo valor em toda a superfície gaussiana. Então, a integral de superfície fica:
Daí, podemos resolver para :

Passo 3

Agora, precisamos calcular a carga encerrada Qenc = integral0^r rho(r') cdot 4pi r'^2 dr' = integral0^r Ar' cdot 4pi r'^2 dr' = 4pi A integral0^r r' dr' = 4pi A [ r'^22 ]0^r = 2pi A r^2 dentro da superfície gaussiana de raio Qenc = 2pi A R^2 . Isso depende se é menor ou maior que .
Para :
A densidade é . A carga encerrada é a integral da densidade sobre o volume da esfera de raio :
Para :
A densidade é zero, então a carga encerrada é a carga total da esfera de raio :

Passo 4

Agora, vamos substituir E(r) = 2pi A r^24pi varepsilon0 r^2 = 2pi A4pi varepsilon0 = A2varepsilon0 na expressão do campo elétrico.
Para E(r) = 2pi A R^24pi varepsilon0 r^2 = A R^22varepsilon0 r^2 :
Então, é constante dentro da esfera.
Para :
Portanto, fora da esfera, o campo elétrico cai com .

Passo 5

Agora, vamos integrar o campo elétrico para encontrar o potencial varphi(r) = -integralinfty^r E(r') dr' . Sabemos que:
varphi(r) = -integralinfty^R A R^22varepsilon0 r'^2 dr' - integralR^r A2varepsilon0 dr'
Vamos fazer essa integração em duas partes: dentro e fora da esfera.
Para -A R^22varepsilon0 [ -1r' ]infty^R = A R^22varepsilon0 R = A R2varepsilon0 :
-A2varepsilon0 (r - R)
Primeira integral:
varphi(r) = A R2varepsilon0 - A2varepsilon0 (r - R) = A (2R - r)2varepsilon0
Segunda integral:
varphi(r) = -integralinfty^R A R^22varepsilon0 r'^2 dr' - integralR^0 A2varepsilon0 dr'
Então, para A R2varepsilon0 :
-A2varepsilon0 (0 - R) = A R2varepsilon0
Para varphi(r) = A R2varepsilon0 + A R2varepsilon0 = A Rvarepsilon0 :
Já sabemos a primeira parte:
Segunda integral:
Então, para :

Resposta

O potencial eletrostático varphi(r) = dfracA Rvarepsilon0, & para 0 <= r <= R dfracA (2R - r)2varepsilon0, & para r > R é dado por:

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