Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.
Passo 1
Então, a gente tem um exercício que pede para calcular o domínio e a imagem da função . Além disso, se a função for inversível, a gente também precisa encontrar a inversa e fazer o esboço dos gráficos de e no mesmo sistema de eixos. Vamos precisar entender conceitos de domínio, imagem, funções inversas e como esboçar gráficos de funções cúbicas e suas inversas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o domínio da função. O domínio é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. No caso de , não há nenhuma restrição no valor de porque podemos elevar qualquer número real ao cubo e somar 2 sem problemas. Então, o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a imagem da função. A imagem é o conjunto de todos os valores possíveis de . Como estamos lidando com uma função cúbica , que é uma função contínua e leva todos os valores reais a todos os valores reais quando somamos 2, a imagem também será todo o conjunto dos números reais.
Passo 4
Em seguida, vamos verificar se a função é inversível. Para uma função ser inversível, ela precisa ser bijetora, ou seja, injetora e sobrejetora. A função cúbica é estritamente crescente, o que significa que para cada valor de , existe um único valor de . Além disso, como vimos, a função cobre todo o conjunto dos números reais, então ela é sobrejetora. Portanto, é inversível.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a função inversa. Para isso, vamos substituir por e resolver a equação para :
Subtraindo 2 de ambos os lados:
Agora, tiramos a raiz cúbica de ambos os lados:
Portanto, a função inversa é:
Passo 6
Por fim, vamos esboçar os gráficos de e no mesmo sistema de eixos. Sabemos que gráficos de funções inversas são simétricos em relação à reta . A função será uma curva cúbica deslocada 2 unidades para cima, enquanto será a reflexo dessa curva em relação à reta .
Resposta
Domínio de : (todos os números reais)
Imagem de : (todos os números reais)
Função inversa:
Gráficos: Os gráficos de e são simétricos em relação à reta e ambos percorrem todo o conjunto dos números reais.