Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o domínio e a imagem da função . Também precisamos verificar se essa função é inversível, encontrar a inversa se for o caso e desenhar os gráficos de e juntos. Para isso, vamos usar conceitos de funções, valores absolutos, e inversibilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode receber sem problemas, ou seja, onde a função está definida. Como estamos trabalhando com valores absolutos e adição, e não há divisões por zero ou radicais com índices pares que poderiam restringir o domínio, podemos concluir que o domínio é todo número real.
Domínio:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Para isso, vamos analisar a expressão .
Vamos considerar dois casos:
Quando :
Então,
Como ,
Quando :
Assim,
Então, a função nunca será negativa e o menor valor que ela pode assumir é 0. Além disso, para , cresce sem limites.
Imagem:
Passo 4
Vamos verificar se a função é inversível. Uma função é inversível se ela for injetora, ou seja, se cada valor de saída estiver associado a apenas um valor de entrada.
Analisando a função:
Para , , que é uma função linear crescente. Isso significa que é injetora nesse intervalo.
Para , . Aqui, todos os valores de negativos resultam em , o que não é injetivo, pois múltiplos diferentes levam ao mesmo .
Portanto, a função não é inversível no seu domínio completo . No entanto, se restringirmos o domínio a , a função se torna inversível.
Passo 5
Como a função não é inversível no geral, mas é inversível quando restringimos o domínio a , vamos encontrar a inversa nesse intervalo restrito.
Temos para .
Para encontrar a inversa, trocamos por e resolvemos para :
Então, a inversa é:
Passo 6
Agora, vamos esboçar os gráficos de e no mesmo sistema de eixos.
Gráfico de :
Para , é uma reta com inclinação 2 passando pela origem.
Para , é uma linha horizontal no valor 0.
Gráfico de :
É uma reta com inclinação passando pela origem.
Os gráficos se interceptam na origem e são simétricos em relação à linha , que é característica das funções inversas.
Resposta
Domínio de :
Imagem de :
A função é inversível quando restrita a
Inversa de :
Esboço dos gráficos: Os gráficos de e são retas que se cruzam na origem, com inclinações de 2 e respectivamente, refletidos em relação à linha .