Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o domínio e a imagem da função
. Também precisamos verificar se essa função é inversível, encontrar a inversa se for o caso e desenhar os gráficos de
e
juntos. Para isso, vamos usar conceitos de funções, valores absolutos, e inversibilidade de funções.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio é o conjunto de todos os valores de
que a função pode receber sem problemas, ou seja, onde a função está definida. Como estamos trabalhando com valores absolutos e adição, e não há divisões por zero ou radicais com índices pares que poderiam restringir o domínio, podemos concluir que o domínio é todo número real.
Domínio:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que
pode assumir. Para isso, vamos analisar a expressão
.
Vamos considerar dois casos:
-
Quando
: -
- Então,
- Como
,
-
-
Quando
: -
- Assim,
-
Então, a função
nunca será negativa e o menor valor que ela pode assumir é 0. Além disso, para
,
cresce sem limites.
Imagem:
Passo 4
Vamos verificar se a função
é inversível. Uma função é inversível se ela for injetora, ou seja, se cada valor de saída estiver associado a apenas um valor de entrada.
Analisando a função:
- Para
, , que é uma função linear crescente. Isso significa que é injetora nesse intervalo. - Para
, . Aqui, todos os valores de negativos resultam em , o que não é injetivo, pois múltiplos diferentes levam ao mesmo .
Portanto, a função não é inversível no seu domínio completo
. No entanto, se restringirmos o domínio a
, a função se torna inversível.
Passo 5
Como a função não é inversível no geral, mas é inversível quando restringimos o domínio a
, vamos encontrar a inversa nesse intervalo restrito.
Temos
para
.
Para encontrar a inversa, trocamos
por
e resolvemos para
:
Então, a inversa é:
Passo 6
Agora, vamos esboçar os gráficos de
e
no mesmo sistema de eixos.
-
Gráfico de
: - Para
, é uma reta com inclinação 2 passando pela origem. - Para
, é uma linha horizontal no valor 0.
- Para
-
Gráfico de
: - É uma reta com inclinação
passando pela origem.
- É uma reta com inclinação
Os gráficos se interceptam na origem e são simétricos em relação à linha
, que é característica das funções inversas.
Resposta
- Domínio de
: - Imagem de
: - A função
é inversível quando restrita a - Inversa de
: - Esboço dos gráficos: Os gráficos de
e são retas que se cruzam na origem, com inclinações de 2 e respectivamente, refletidos em relação à linha .