Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular o domínio e a imagem da função . Também precisamos verificar se essa função é inversível, encontrar a inversa se for o caso e desenhar os gráficos de e juntos. Para isso, vamos usar conceitos de funções, valores absolutos, e inversibilidade de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio é o conjunto de todos os valores de que a função pode receber sem problemas, ou seja, onde a função está definida. Como estamos trabalhando com valores absolutos e adição, e não há divisões por zero ou radicais com índices pares que poderiam restringir o domínio, podemos concluir que o domínio é todo número real.
Domínio:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a imagem da função, que é o conjunto de todos os possíveis valores que pode assumir. Para isso, vamos analisar a expressão .
Vamos considerar dois casos:
  1. Quando :
    • Então,
    • Como ,
  2. Quando :
    • Assim,
Então, a função nunca será negativa e o menor valor que ela pode assumir é 0. Além disso, para , cresce sem limites.
Imagem:

Passo 4

Vamos verificar se a função é inversível. Uma função é inversível se ela for injetora, ou seja, se cada valor de saída estiver associado a apenas um valor de entrada.
Analisando a função:
  • Para , , que é uma função linear crescente. Isso significa que é injetora nesse intervalo.
  • Para , . Aqui, todos os valores de negativos resultam em , o que não é injetivo, pois múltiplos diferentes levam ao mesmo .
Portanto, a função não é inversível no seu domínio completo . No entanto, se restringirmos o domínio a , a função se torna inversível.

Passo 5

Como a função não é inversível no geral, mas é inversível quando restringimos o domínio a , vamos encontrar a inversa nesse intervalo restrito.
Temos para .
Para encontrar a inversa, trocamos por e resolvemos para :
Então, a inversa é:

Passo 6

Agora, vamos esboçar os gráficos de e no mesmo sistema de eixos.
  • Gráfico de :
    • Para , é uma reta com inclinação 2 passando pela origem.
    • Para , é uma linha horizontal no valor 0.
  • Gráfico de :
    • É uma reta com inclinação passando pela origem.
Os gráficos se interceptam na origem e são simétricos em relação à linha , que é característica das funções inversas.

Resposta

  • Domínio de :
  • Imagem de :
  • A função é inversível quando restrita a
  • Inversa de :
  • Esboço dos gráficos: Os gráficos de e são retas que se cruzam na origem, com inclinações de 2 e respectivamente, refletidos em relação à linha .

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Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de e num mesmo sistema de eixos.
Considere o seguinte problema de valor inicial e contorno
cuja solução é dada por .
Considere uma corda vibrante de comprimento que satisfaz a equação da onda com . Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e, partindo da posição inicial,
Encontre o deslocamento da corda, justificando a sua resposta.
Fórmulas úteis no verso!
Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Verifique se cada uma das funções abaixo são inversíveis em seus respectivos domínios e em caso afirmativo, determine a função inversa.
(a)
(d)
(b)
(e)
©