Considere o seguinte problema de valor inicial e contorno
cuja solução é dada por .
Considere uma corda vibrante de comprimento que satisfaz a equação da onda com . Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e, partindo da posição inicial,
Encontre o deslocamento da corda, justificando a sua resposta.
Fórmulas úteis no verso!

Passo 1

Vamos resolver um problema da equação da onda que descreve o movimento de uma corda vibrante. A corda tem comprimento unidades e velocidade de propagação . As extremidades da corda estão fixas, ou seja, . Inicialmente, a corda tem um deslocamento dado por e está parada, ou seja, a velocidade inicial é zero ( ). Para encontrar o deslocamento da corda em qualquer tempo , vamos usar a solução geral da equação da onda fornecida.

Passo 2

A solução geral da equação da onda com as condições dadas é:
Aqui, são os coeficientes que determinam a contribuição de cada modo de vibração da corda.

Passo 3

Primeiro, precisamos identificar os coeficientes usando a condição inicial de deslocamento . Substituindo na solução geral:
Mas sabemos que . Comparando os termos, vemos que apenas os termos e estão presentes. Portanto:
Todos os demais .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de na solução geral. Como somente e são diferentes de zero, a soma se reduz a esses termos:

Passo 5

Vamos substituir os valores de e na expressão:
Simplificando as frações:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais as frações:

Resposta

O deslocamento da corda em qualquer tempo é dado por:

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