Considere o seguinte problema de valor inicial e contorno
l ut t=a^2 ux x, 00 u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 u(x, 0)=f(x) ut(x, 0)=0,0 <= x <= L
cuja solução é dada por u(x, t)=sumn=1^+infty cn cos (n pi aL t) sin (n piL x).
Considere uma corda vibrante de comprimento L=10 que satisfaz a equação da onda com a=2. Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e, partindo da posição inicial,
f(x)=-3 sin (2 pi x)+15 sin (6 pi x)
Encontre o deslocamento u(x, t) da corda, justificando a sua resposta.
Fórmulas úteis no verso!

Passo 1

Vamos resolver um problema da equação da onda que descreve o movimento de uma corda vibrante. A corda tem comprimento unidades e velocidade de propagação . As extremidades da corda estão fixas, ou seja, . Inicialmente, a corda tem um deslocamento dado por e está parada, ou seja, a velocidade inicial é zero ( ). Para encontrar o deslocamento da corda em qualquer tempo , vamos usar a solução geral da equação da onda fornecida.

Passo 2

A solução geral da equação da onda com as condições dadas é:
u(x, t) = sumn=1^+infty cn cos (n pi aL t) sin (n piL x)
Aqui, são os coeficientes que determinam a contribuição de cada modo de vibração da corda.

Passo 3

Primeiro, precisamos identificar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^+infty cn cos (0) sin (n piL x) = sumn=1^+infty cn sin (n piL x) usando a condição inicial de deslocamento c2 = -3 e c6 = 15 . Substituindo na solução geral:
Mas sabemos que . Comparando os termos, vemos que apenas os termos e estão presentes. Portanto:
Todos os demais .

Passo 4

Agora, vamos substituir os valores de u(x, t) = -3 cos (2 pi aL t) sin (2 piL x) + 15 cos (6 pi aL t) sin (6 piL x) na solução geral. Como somente e são diferentes de zero, a soma se reduz a esses termos:

Passo 5

Vamos substituir os valores de u(x, t) = -3 cos (2 pi times 210 t) sin (2 pi10 x) + 15 cos (6 pi times 210 t) sin (6 pi10 x) e u(x, t) = -3 cos (4pi10 t) sin (pi5 x) + 15 cos (12pi10 t) sin (3pi5 x) na expressão:
Simplificando as frações:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais as frações:
u(x, t) = -3 cos (2pi5 t) sin (pi5 x) + 15 cos (6pi5 t) sin (3pi5 x)

Resposta

O deslocamento da corda em qualquer tempo u(x, t) = -3 cos (2pi5 t) sin (pi5 x) + 15 cos (6pi5 t) sin (3pi5 x) é dado por:

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