Considere o seguinte problema de valor inicial e contorno
cuja solução é dada por u(x, t)=sumn=1^+infty cn cos (n pi aL t) sin (n piL x).
Considere uma corda vibrante de comprimento L=10 que satisfaz a equação da onda com a=2. Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e, partindo da posição inicial,
f(x)=-3 sin (2 pi x)+15 sin (6 pi x)
Encontre o deslocamento u(x, t) da corda, justificando a sua resposta.
Fórmulas úteis no verso!
Passo 1
Vamos resolver um problema da equação da onda que descreve o movimento de uma corda vibrante. A corda tem comprimento unidades e velocidade de propagação . As extremidades da corda estão fixas, ou seja, . Inicialmente, a corda tem um deslocamento dado por e está parada, ou seja, a velocidade inicial é zero (). Para encontrar o deslocamento da corda em qualquer tempo , vamos usar a solução geral da equação da onda fornecida.
Passo 2
A solução geral da equação da onda com as condições dadas é:
u(x, t) = sumn=1^+infty cn cos (n pi aL t) sin (n piL x)
Aqui, são os coeficientes que determinam a contribuição de cada modo de vibração da corda.
Passo 3
Primeiro, precisamos identificar os coeficientes u(x, 0) = sumn=1^+infty cn cos (0) sin (n piL x) = sumn=1^+infty cn sin (n piL x) usando a condição inicial de deslocamento c2 = -3 e c6 = 15 . Substituindo na solução geral:
Mas sabemos que . Comparando os termos, vemos que apenas os termos e estão presentes. Portanto:
Todos os demais .
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de u(x, t) = -3 cos (2 pi aL t) sin (2 piL x) + 15 cos (6 pi aL t) sin (6 piL x) na solução geral. Como somente e são diferentes de zero, a soma se reduz a esses termos:
Passo 5
Vamos substituir os valores de u(x, t) = -3 cos (2 pi times 210 t) sin (2 pi10 x) + 15 cos (6 pi times 210 t) sin (6 pi10 x) e u(x, t) = -3 cos (4pi10 t) sin (pi5 x) + 15 cos (12pi10 t) sin (3pi5 x) na expressão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais as frações:
u(x, t) = -3 cos (2pi5 t) sin (pi5 x) + 15 cos (6pi5 t) sin (3pi5 x)
Resposta
O deslocamento da corda em qualquer tempo u(x, t) = -3 cos (2pi5 t) sin (pi5 x) + 15 cos (6pi5 t) sin (3pi5 x) é dado por: