Considere o seguinte problema de valor inicial e contorno
cuja solução é dada por .
Considere uma corda vibrante de comprimento que satisfaz a equação da onda com . Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial e, partindo da posição inicial,
Encontre o deslocamento da corda, justificando a sua resposta.
Fórmulas úteis no verso!
Passo 1
Vamos resolver um problema da equação da onda que descreve o movimento de uma corda vibrante. A corda tem comprimento unidades e velocidade de propagação . As extremidades da corda estão fixas, ou seja, . Inicialmente, a corda tem um deslocamento dado por e está parada, ou seja, a velocidade inicial é zero (). Para encontrar o deslocamento da corda em qualquer tempo , vamos usar a solução geral da equação da onda fornecida.
Passo 2
A solução geral da equação da onda com as condições dadas é:
Aqui, são os coeficientes que determinam a contribuição de cada modo de vibração da corda.
Passo 3
Primeiro, precisamos identificar os coeficientes usando a condição inicial de deslocamento . Substituindo na solução geral:
Mas sabemos que . Comparando os termos, vemos que apenas os termos e estão presentes. Portanto:
Todos os demais .
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores de na solução geral. Como somente e são diferentes de zero, a soma se reduz a esses termos:
Passo 5
Vamos substituir os valores de e na expressão:
Simplificando as frações:
Passo 6
Podemos simplificar ainda mais as frações:
Resposta
O deslocamento da corda em qualquer tempo é dado por: