Determine o domínio das seguintes funções:
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
(a)
(e)
(b)
(f)
©
(g)
(d)
(h)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar o domínio de várias funções. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (como
,
ou
) para os quais a função está bem definida, ou seja, não dá nenhum problema como divisão por zero, raízes de números negativos, logaritmos de números não positivos, etc. Para resolver isso, vamos analisar cada função uma por uma e ver quais valores são permitidos para que tudo fique certinho.
Passo 2
a)
Aqui, temos uma fração. Para uma fração estar definida, o denominador não pode ser zero, porque divisão por zero não existe. Então, vamos garantir que
.
Domínio de
: Todos os números reais exceto
.
Passo 3
b)
A raiz quadrada só está definida para números maiores ou iguais a zero. Portanto, o que está dentro da raiz deve ser
:
Domínio de
:
Passo 4
c)
Aqui, temos uma raiz quadrada de uma fração. Para a raiz estar definida, a fração dentro dela deve ser
. Além disso, o denominador da fração não pode ser zero.
Primeiro, garantimos que
:
Agora, analisamos quando
. Isso acontece quando tanto o numerador quanto o denominador são positivos ou ambos são negativos.
-
Caso 1:
e -
Caso 2:
e
Domínio de
:
ou
Passo 5
d)
A raiz quadrada requer que o que está dentro seja
:
Resolvendo a desigualdade:
Domínio de
:
ou
Passo 6
e)
O logaritmo natural está definido apenas para números maiores que zero:
Domínio de
:
Passo 7
f)
A função exponencial está definida para todos os números reais, não importa qual seja o valor de
. Não há restrições.
Domínio de
: Todos os números reais (
)
Passo 8
g)
A função valor absoluto
está definida para todos os números reais. Não há operações que restrinjam o domínio, como dividir por zero ou tirar raiz de número negativo.
Domínio de
: Todos os números reais (
)
Passo 9
h)
Aqui, temos duas partes que impõem restrições:
-
: O que está dentro da raiz deve ser : -
: - O denominador
não pode ser zero, então: - Além disso, o que está dentro da raiz deve ser
(porque está no denominador):
- O denominador
Juntando as duas condições:
Domínio de
:
Resposta
Domínios das funções:
a)
:
b)
:
c)
:
ou
d)
:
ou
e)
:
f)
: Todos os números reais (
)
g)
: Todos os números reais (
)
h)
:
Exercícios relacionados
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Calcule o domínio e a imagem de cada função. Quando for inversível, calcule a inversa, e faça o esboços dos gráficos de
e
num mesmo sistema de eixos.
Verifique se cada uma das funções abaixo são inversíveis em seus respectivos domínios e em caso afirmativo, determine a função inversa.
(a)
(d)
(b)
(e)
©
(a)
(d)
(b)
(e)
©
Encontre o volume do sólido
limitado pelos planos
e pelo cilindro parabólico
.