Calcule, de duas formas diferentes, o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, do conjunto A = {(x, y) em R^2 ; 0 <= x <= 2, 0 <= y <= (x^2)/2 + 1} e y ≥ x² - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que surge quando a região A é girada em torno do eixo y. A região A é definida por 0 <= x <= 2, e . Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: o método dos discos/cilindros e o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região A. Temos duas curvas principais:
Essas curvas se cruzam no intervalo de x de 0 a 2. Vamos encontrar os pontos de interseção para confirmar isso.

Passo 3

Igualando as duas equações:
Subtraindo de ambos os lados:
Somando 1 aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Assim, . Como nosso intervalo é de 0 a 2, temos interseção em x = 2.

Passo 4

Agora, vamos usar o método dos discos/cilindros. Esse método envolve integrar a área dos discos formados pela rotação em torno do eixo y.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
  • é o raio externo
  • é o raio interno

Passo 5

Precisamos expressar x em função de y para ambas as curvas.
Para :
Para :

Passo 6

Determinar os limites de integração em termos de y. Quando x = 0:
Para
Para
Quando x = 2:
Para
Para
Então, os limites de y vão de -1 a .

Passo 7

Aplicando a fórmula do método dos discos:
Simplificando os quadrados:

Passo 8

Integrando:
Calculando em y = 3:
Em y = -1:
Subtraindo:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:

Passo 9

Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve integrar a área das cascas formadas pela rotação em torno do eixo y.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
  • f(x) é a função superior
  • g(x) é a função inferior

Passo 10

Identificando f(x) e g(x):
O intervalo de x é de 0 a 2.

Passo 11

Aplicando a fórmula do método das cascas:
Simplificando:

Passo 12

Integrando:
Calculando em x = 2:
Em x = 0:
Subtraindo:
Multiplicando por :

Resposta

O volume do sólido gerado é utilizando o método dos discos/cilindros e utilizando o método das cascas cilíndricas.

Exercícios relacionados