Calcule, de duas formas diferentes, o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo
, do conjunto
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume de um sólido que surge quando a região A é girada em torno do eixo
. A região A é definida por
,
e
. Para isso, vamos usar duas técnicas diferentes: o método dos discos/cilindros e o método das cascas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região A. Temos duas curvas principais:
Essas curvas se cruzam no intervalo de
de 0 a 2. Vamos encontrar os pontos de interseção para confirmar isso.
Passo 3
Igualando as duas equações:
Subtraindo
de ambos os lados:
Somando 1 aos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Assim,
. Como nosso intervalo é de 0 a 2, temos interseção em
.
Passo 4
Agora, vamos usar o método dos discos/cilindros. Esse método envolve integrar a área dos discos formados pela rotação em torno do eixo
.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é o raio externo -
é o raio interno
Passo 5
Precisamos expressar
em função de
para ambas as curvas.
Para
:
Para
:
Passo 6
Determinar os limites de integração em termos de
. Quando
:
Para
Para
Quando
:
Para
Para
Então, os limites de
vão de
a
.
Passo 7
Aplicando a fórmula do método dos discos:
Simplificando os quadrados:
Passo 8
Integrando:
Calculando em
:
Em
:
Subtraindo:
Como volume não pode ser negativo, consideramos o valor absoluto:
Passo 9
Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Esse método envolve integrar a área das cascas formadas pela rotação em torno do eixo
.
A fórmula geral para o volume usando esse método é:
Onde:
-
é a função superior -
é a função inferior
Passo 10
Identificando
e
:
O intervalo de
é de 0 a 2.
Passo 11
Aplicando a fórmula do método das cascas:
Simplificando:
Passo 12
Integrando:
Calculando em
:
Em
:
Subtraindo:
Multiplicando por
:
Resposta
O volume do sólido gerado é
utilizando o método dos discos/cilindros e
utilizando o método das cascas cilíndricas.