Em um universo estranho, mas que obedece as mesmas leis da física do nosso, um gás diatômico rígido ideal possui capacidade térmica molar a volume constante igual a
, onde
é a constante universal dos gases. Determine quantas dimensões espaciais este universo estranho possui. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás diatômico rígido ideal em um universo com leis físicas como as nossas. A capacidade térmica molar a volume constante desse gás é igual a $ \frac{3R}{2} $, onde $ R $ é a constante universal dos gases. Nosso objetivo é descobrir quantas dimensões espaciais esse universo possui. Para resolver isso, vamos precisar entender como a capacidade térmica está relacionada às dimensões do espaço.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que a capacidade térmica molar a volume constante ($ C_v $) de um gás ideal está relacionada aos graus de liberdade das moléculas do gás. Os graus de liberdade representam as diferentes maneiras pelas quais uma molécula pode armazenar energia, como movimentos de translação e rotação.
Passo 3
Em um espaço com $ D $ dimensões, uma molécula diatômica rígida tem dois tipos principais de graus de liberdade:
- Translação: A molécula pode se mover nas diferentes direções do espaço. Em $ D $ dimensões, há $ D $ graus de liberdade de translação.
- Rotação: A molécula pode girar em planos diferentes. O número de graus de liberdade de rotação em $ D $ dimensões é $ \frac{D(D-1)}{2} $.
Passo 4
Como o gás é diatômico e rígido, desconsideramos os graus de liberdade vibracionais. Então, o número total de graus de liberdade ($ f $) é a soma dos graus de liberdade de translação e rotação:
Passo 5
Sabemos que a capacidade térmica molar a volume constante está relacionada aos graus de liberdade pela fórmula:
A questão nos diz que $ C_v = \frac{3R}{2} $. Vamos igualar as duas expressões:
Passo 6
Podemos cancelar $ \frac{R}{2} $ dos dois lados da equação:
Agora substituímos $ f $ pela expressão em termos de $ D $:
Passo 7
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar a fração:
Expandindo $ D(D-1) $:
Simplificando:
Passo 8
Resolvemos a equação quadrática $ D^2 + D - 6 = 0 $ usando a fórmula de Bhaskara:
Onde $ a = 1 $, $ b = 1 $, e $ c = -6 $:
Isso nos dá duas soluções:
Como dimensões não podem ser negativas, descartamos $ D = -3 $.
Resposta
O universo estranho possui 2 dimensões espaciais.