Calcule End (Z[i]) e Aut (Q[i]).

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular End(Z[i]), que são todos os endomorfismos do anel dos inteiros de Gauss Z[i], e Aut(Q[i]), que são todos os automorfismos do corpo Q[i]. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra como homomorfismos de anéis e automorfismos de corpos.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular End(Z[i]). Um endomorfismo de Z[i] é um mapa que preserva a estrutura do anel, ou seja, soma e multiplicação. Sabemos que Z[i] é composto por números da forma a + bi, onde a e b são inteiros e i é a unidade imaginária com i^2 = -1.

Passo 3

Para encontrar todos os endomorfismos, precisamos ver como podemos mapear os elementos básicos do anel. O elemento 1 deve ser mapeado em 1, porque estamos falando de um homomorfismo de anéis que preserva a identidade. Já o elemento i pode ser mapeado em algum elemento de Z[i] que satisfaça a mesma relação i^2 = -1.

Passo 4

Vamos pensar quais elementos de Z[i] satisfazem x^2 = -1. São apenas i e -i, porque (i)^2 = -1 e (-i)^2 = -1. Portanto, temos duas opções para o mapeamento de i: ele pode ir para i ou para -i.

Passo 5

Assim, existem dois endomorfismos possíveis:
  1. O endomorfismo identidade, que mapeia cada elemento em si mesmo.
  2. O endomorfismo conjugado, que mapeia a + bi para a - bi.
Portanto, End(Z[i]) = id, conj.

Passo 6

Agora, vamos calcular Aut(Q[i]). Um automorfismo de Q[i] é um isomorfismo de campos que preserva a estrutura do campo. Sabemos que Q[i] é um campo quadrático sobre Q, gerado por i, onde i^2 = -1.

Passo 7

No caso de campos quadráticos, os automorfismos são determinados pela imagem do elemento gerador. Ou seja, qualquer automorfismo deve mapear i para outra raiz de x^2 + 1 = 0 em Q[i], que são i e -i.

Passo 8

Portanto, existem dois automorfismos possíveis em Aut(Q[i]):
  1. O automorfismo identidade.
  2. O automorfismo conjugado, que mapeia a + bi para a - bi.
Logo, Aut(Q[i]) = id, conj.

Resposta

End(Z[i]) = id, conj e Aut(Q[i]) = id, conj.

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