Calcule End
e Aut
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular
, que são todos os endomorfismos do anel dos inteiros de Gauss
, e
, que são todos os automorfismos do corpo
. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra como homomorfismos de anéis e automorfismos de corpos.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
. Um endomorfismo de
é um mapa que preserva a estrutura do anel, ou seja, soma e multiplicação. Sabemos que
é composto por números da forma
, onde
e
são inteiros e
é a unidade imaginária com
.
Passo 3
Para encontrar todos os endomorfismos, precisamos ver como podemos mapear os elementos básicos do anel. O elemento 1 deve ser mapeado em 1, porque estamos falando de um homomorfismo de anéis que preserva a identidade. Já o elemento
pode ser mapeado em algum elemento de
que satisfaça a mesma relação
.
Passo 4
Vamos pensar quais elementos de
satisfazem
. São apenas
e
, porque
e
. Portanto, temos duas opções para o mapeamento de
: ele pode ir para
ou para
.
Passo 5
Assim, existem dois endomorfismos possíveis:
- O endomorfismo identidade, que mapeia cada elemento em si mesmo.
- O endomorfismo conjugado, que mapeia
para .
Portanto,
.
Passo 6
Agora, vamos calcular
. Um automorfismo de
é um isomorfismo de campos que preserva a estrutura do campo. Sabemos que
é um campo quadrático sobre
, gerado por
, onde
.
Passo 7
No caso de campos quadráticos, os automorfismos são determinados pela imagem do elemento gerador. Ou seja, qualquer automorfismo deve mapear
para outra raiz de
em
, que são
e
.
Passo 8
Portanto, existem dois automorfismos possíveis em
:
- O automorfismo identidade.
- O automorfismo conjugado, que mapeia
para .
Logo,
.