Seia
um grupo abeliano. Prove que, sef.
então
onde
.
Passo 1
Vamos lá! O exercício fala sobre grupos abelianos e endomorfismos. Nosso objetivo é provar que, se $ f $ e $ g $ são endomorfismos de um grupo abeliano $ A $, então a soma $ f + g $ também é um endomorfismo de $ A $. Para isso, vamos precisar entender o que são grupos abelianos e endomorfismos, além de como funciona a soma de funções nesse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que um grupo abeliano é um conjunto $ A $ com uma operação de adição $ + $ que é comutativa, ou seja, para todo $ a, b \in A $, temos $ a + b = b + a $. Além disso, há um elemento neutro e cada elemento tem um inverso.
Passo 3
Agora, um endomorfismo de $ A $ é uma função $ f: A \to A $ que preserva a estrutura do grupo. Isso significa que para todos $ x, y \in A $, $ f(x + y) = f(x) + f(y) $. Em outras palavras, $ f $ respeita a operação de adição do grupo.
Passo 4
Queremos provar que a soma de dois endomorfismos, $ f + g $, também é um endomorfismo. Por definição, $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) $ para todo $ x \in A $.
Passo 5
Para mostrar que $ f + g $ é um endomorfismo, precisamos verificar se ele preserva a operação de adição. Ou seja, precisamos ver se:
para todos $ x, y \in A $.
Passo 6
Vamos calcular cada lado da igualdade:
Primeiro, a parte da esquerda:
Como $ f $ e $ g $ são endomorfismos, sabemos que:
Então:
Passo 7
Agora, a parte da direita:
Passo 8
Observando as duas expressões obtidas, temos:
e
Como a adição no grupo $ A $ é comutativa, a ordem dos termos não importa. Portanto:
Logo, as duas expressões são iguais.
Resposta
Portanto, mostramos que $ (f + g)(x + y) = (f + g)(x) + (f + g)(y) $ para todo $ x, y \in A $, o que prova que $ f + g $ é um endomorfismo de $ A $.