Seia A,+ um grupo abeliano. Prove que, sef. g in End(A) então (f+g) in End(A) onde (f+g)(x)=f(x)+ +g(x) forall x in A.

Passo 1

Vamos lá! O exercício fala sobre grupos abelianos e endomorfismos. Nosso objetivo é provar que, se $ f $ e $ g $ são endomorfismos de um grupo abeliano $ A $, então a soma $ f + g $ também é um endomorfismo de $ A $. Para isso, vamos precisar entender o que são grupos abelianos e endomorfismos, além de como funciona a soma de funções nesse contexto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um grupo abeliano é um conjunto $ A $ com uma operação de adição $ + $ que é comutativa, ou seja, para todo $ a, b \in A $, temos $ a + b = b + a $. Além disso, há um elemento neutro e cada elemento tem um inverso.

Passo 3

Agora, um endomorfismo de $ A $ é uma função $ f: A \to A $ que preserva a estrutura do grupo. Isso significa que para todos $ x, y \in A $, $ f(x + y) = f(x) + f(y) $. Em outras palavras, $ f $ respeita a operação de adição do grupo.

Passo 4

Queremos provar que a soma de dois endomorfismos, $ f + g $, também é um endomorfismo. Por definição, $ (f + g)(x) = f(x) + g(x) $ para todo $ x \in A $.

Passo 5

Para mostrar que $ f + g $ é um endomorfismo, precisamos verificar se ele preserva a operação de adição. Ou seja, precisamos ver se:
f + g
para todos $ x, y \in A $.

Passo 6

Vamos calcular cada lado da igualdade:
Primeiro, a parte da esquerda:
(f + g)(x + y) = f(x + y) + g(x + y)
Como $ f $ e $ g $ são endomorfismos, sabemos que:
f
g
Então:
f(x + y) = f(x) + f(y)

Passo 7

Agora, a parte da direita:
(f + g)(x) + (f + g)(y) = (f(x) + g(x)) + (f(y) + g(y))

Passo 8

Observando as duas expressões obtidas, temos:
(f + g)(x + y) = f(x) + f(y) + g(x) + g(y)
e
(f + g)(x) + (f + g)(y) = f(x) + g(x) + f(y) + g(y)
Como a adição no grupo $ A $ é comutativa, a ordem dos termos não importa. Portanto:
A
Logo, as duas expressões são iguais.

Resposta

Portanto, mostramos que $ (f + g)(x + y) = (f + g)(x) + (f + g)(y) $ para todo $ x, y \in A $, o que prova que $ f + g $ é um endomorfismo de $ A $.

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