Séjam A e A^prime anéis. Defina +e cdot no conjunto A times A^prime=(a, a^prime): a in A, a^prime in A^prime de modo que A times A^prime seja um anel com essas operações.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem dois anéis, chamados $ A $ e $ A’ A çõçã+ A' çã\cdot$), no conjunto $ A \times A’ $, que é formado por pares ordenados +, onde $ a $ pertence a $ A $ e $ a’ $ pertence a $ A’ $. O objetivo é fazer com que $ A \times A’ $ também seja um anel usando essas operações que vamos definir. Para isso, vamos precisar entender como operar com pares e garantir que todas as propriedades de um anel sejam satisfeitas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura algébrica que possui duas operações: adição e multiplicação. Essas operações devem obedecer a certas propriedades, como a associatividade da adição e da multiplicação, a existência de um elemento neutro para a adição, a existência de inversos aditivos, e a distributividade da multiplicação sobre a adição.

Passo 3

Para definir a adição em $ A \times A’ $, vamos fazer isso de forma que opera elemento por elemento dos pares. Ou seja, se temos dois elementos $ (a, a’) $ e $ (b, b’) $ em $ A \times A’ $, a soma deles será $ (a + b, a’ + b’) $. Isso garante que a adição respeita as propriedades de um anel, já que tanto $ A $ quanto $ A’ $ são anéis e, portanto, já têm suas próprias operações de adição que obedecem às propriedades necessárias.

Passo 4

Agora, vamos definir a multiplicação em $ A \times A’ $. De maneira semelhante à adição, vamos multiplicar elemento por elemento dos pares. Assim, se temos $ (a, a’) $ e $ (b, b’) $, a multiplicação será $ (a \cdot b, a’ \cdot b’) $. Isso também respeita as propriedades de um anel, já que a multiplicação é associativa e distributiva sobre a adição em ambos $ A $ e $ A’ $.

Passo 5

Por fim, precisamos verificar se essas definições realmente transformam $ A \times A’ $ em um anel. Já que $ A $ e $ A’ $ são anéis e as operações são definidas de forma component-wise (ou seja, elemento por elemento), todas as propriedades necessárias de um anel serão mantidas em $ A \times A’ $. Portanto, com essas definições, $ A \times A’ $ é de fato um anel.

Resposta

As operações são definidas da seguinte maneira:
(a, a') + (b, b') = (a + b, a' + b')
(a, a') cdot (b, b') = (a cdot b, a' cdot b')
Assim, $ A \times A’ $ com essas operações é um anel.

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