Calcule a energia cinética de um próton cujo comprimento de onda de de Broglie é 0,25 nm. Se um feixe de prótons com esse comprimento de onda é difratado por um cristal de calcita com uma distância interplanar de 0,304 nm, qual é o ângulo correspondente ao máximo de difração de Bragg de primeira ordem?

Passo 1

Vamos lá! Temos um próton com um comprimento de onda de de Broglie de 0,25 nm. Vamos calcular a energia cinética desse próton e descobrir o ângulo de difração usando a condição de Bragg. Para isso, vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, como o comprimento de onda de de Broglie, e de física de sólidos, especificamente a lei de Bragg para difração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a energia cinética do próton. Sabemos que o comprimento de onda de de Broglie ( lambda) está relacionado ao momento ( p) pelo seguinte relacionamento:
lambda = hp
Onde h é a constante de Planck, que vale aproximadamente 6,626 times 10^-34 J cdot s. Queremos encontrar a energia cinética ( K), e sabemos que:
K = p^22m
Vamos substituir p da primeira equação na segunda:
K = (h/lambda)^22m

Passo 3

Agora, vamos inserir os valores conhecidos na fórmula. O comprimento de onda lambda = 0,25 nm = 0,25 times 10^-9 m e a massa de um próton m approx 1,673 times 10^-27 kg. Substituindo:
K = (6,626 times 10^-34 J cdot s / 0,25 times 10^-9 m)^22 times 1,673 times 10^-27 kg

Passo 4

Vamos calcular o numerador:
(6,626 times 10^-34 / 0,25 times 10^-9)^2 = (2,6504 times 10^-25)^2 = 7,025 times 10^-50 J^2 cdot s^2 / m^2
E o denominador:
2 times 1,673 times 10^-27 = 3,346 times 10^-27 kg

Passo 5

Agora, dividimos o numerador pelo denominador para encontrar a energia cinética:
K = 7,025 times 10^-503,346 times 10^-27 approx 2,10 times 10^-23 J
Para facilitar, podemos converter para elétron-volts (1 eV = 1,602 times 10^-19 J):
K approx 2,10 times 10^-231,602 times 10^-19 approx 1,31 times 10^-4 eV

Passo 6

Agora, vamos encontrar o ângulo de difração usando a lei de Bragg:
nlambda = 2d sin theta
Para o máximo de difração de primeira ordem, n = 1. Temos lambda = 0,25 nm e d = 0,304 nm. Substituindo:
0,25 = 2 times 0,304 times sin theta

Passo 7

Resolvendo para sin theta:
sin theta = 0,252 times 0,304 approx 0,250,608 approx 0,4112
Agora, calculamos o ângulo:
theta = arcsin(0,4112) approx 24,2^circ

Resposta

A energia cinética do próton é aproximadamente 1,31 times 10^-4 eV e o ângulo correspondente ao máximo de difração de Bragg de primeira ordem é de aproximadamente 24,2^circ.

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