Calcule a equação da reta que passa pelo ponto (2,3,4) e é perpendicular ao vetor w=lang<= 1,2,3rang<= * *

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede e identificar os conceitos que iremos utilizar. A questão solicita que calculemos a equação da reta que passa pelo ponto (2,3,4) e é perpendicular ao vetor w = lang<= 1,2,3 rang<=.
Conteúdo da matéria: Vetores no espaço tridimensional e equações de retas.
O que vamos precisar:
  • Conhecer a definição de reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.
  • Entender a condição de perpendicularidade entre dois vetores, que envolve o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é representada a equação de uma reta no espaço. Uma reta pode ser definida por um ponto por onde ela passa e um vetor diretor que indica sua direção. A equação paramétrica da reta é dada por:
r(t) = r0 + tv
onde:
  • r0 é o vetor posição do ponto dado (2,3,4).
  • v é o vetor diretor da reta.
  • t é o parâmetro real.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o vetor diretor v da reta. Sabemos que a reta deve ser perpendicular ao vetor w = lang<= 1,2,3 rang<=. Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, temos:
v cdot w = 0

Passo 4

Vamos supor que o vetor diretor v seja lang<= a, b, c rang<=. Aplicando a condição de perpendicularidade, temos:
lang<= a, b, c rang<= cdot lang<= 1,2,3 rang<= = a cdot 1 + b cdot 2 + c cdot 3 = 0
Isso nos dá a equação:
a + 2b + 3c = 0

Passo 5

A equação a + 2b + 3c = 0 nos indica uma relação entre os componentes de v. Podemos escolher valores para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher a = 2 e b = -1:
2 + 2(-1) + 3c = 0 2 - 2 + 3c = 0 3c = 0 c = 0
Portanto, um vetor diretor que satisfaz a condição de perpendicularidade é v = lang<= 2, -1, 0 rang<=.

Passo 6

Agora que temos o vetor diretor v = lang<= 2, -1, 0 rang<= e o ponto (2,3,4), podemos escrever a equação paramétrica da reta:
r(t) = lang<= 2, 3, 4 rang<= + t lang<= 2, -1, 0 rang<=
Isso se traduz nas seguintes equações paramétricas:
x = 2 + 2t y = 3 - t z = 4

Resposta

A equação da reta que passa pelo ponto (2,3,4) e é perpendicular ao vetor w = lang<= 1,2,3 rang<= é:
r(t) = lang<= 2, 3, 4 rang<= + t lang<= 2, -1, 0 rang<=
Ou, em forma paramétrica:
x = 2 + 2t y = 3 - t z = 4

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