Calcule a equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede e identificar os conceitos que iremos utilizar. A questão solicita que calculemos a equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
.
Conteúdo da matéria: Vetores no espaço tridimensional e equações de retas.
O que vamos precisar:
- Conhecer a definição de reta no espaço usando um ponto e um vetor diretor.
- Entender a condição de perpendicularidade entre dois vetores, que envolve o produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é representada a equação de uma reta no espaço. Uma reta pode ser definida por um ponto por onde ela passa e um vetor diretor que indica sua direção. A equação paramétrica da reta é dada por:
onde:
-
é o vetor posição do ponto dado . -
é o vetor diretor da reta. -
é o parâmetro real.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o vetor diretor
da reta. Sabemos que a reta deve ser perpendicular ao vetor
. Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero. Portanto, temos:
Passo 4
Vamos supor que o vetor diretor
seja
. Aplicando a condição de perpendicularidade, temos:
Isso nos dá a equação:
Passo 5
A equação
nos indica uma relação entre os componentes de
. Podemos escolher valores para dois dos componentes e resolver para o terceiro. Por exemplo, vamos escolher
e
:
Portanto, um vetor diretor que satisfaz a condição de perpendicularidade é
.
Passo 6
Agora que temos o vetor diretor
e o ponto
, podemos escrever a equação paramétrica da reta:
Isso se traduz nas seguintes equações paramétricas:
Resposta
A equação da reta que passa pelo ponto
e é perpendicular ao vetor
é:
Ou, em forma paramétrica: