Encontre a equação do plano que é perpendicular à reta e passa pelo ponto .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja perpendicular a uma reta específica e que passe por um ponto dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações de planos. Vamos precisar identificar a direção da reta para achar o vetor normal do plano e depois usar a fórmula da equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a direção da reta fornecida pela equação paramétrica:
Os coeficientes das frações representam os componentes do vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
Passo 3
Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal ( n = 3 -2 1 ) do plano. Portanto, o vetor normal do plano é:
Passo 4
Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde é um ponto que pertence ao plano, e , , são as componentes do vetor normal .
Passo 5
Sabemos que o plano passa pelo ponto 3(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 . Vamos substituir esse ponto e as componentes do vetor normal na equação do plano: