Encontre a equação do plano que é perpendicular à reta x-23=y+1-2=z-31 e passa pelo ponto (1,2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que seja perpendicular a uma reta específica e que passe por um ponto dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações de planos. Vamos precisar identificar a direção da reta para achar o vetor normal do plano e depois usar a fórmula da equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a direção da reta fornecida pela equação paramétrica:
x-23 = y+1-2 = z-31
Os coeficientes das frações representam os componentes do vetor diretor da reta. Então, o vetor diretor da reta é:
d = 3 -2 1

Passo 3

Como o plano é perpendicular à reta, o vetor diretor da reta será o vetor normal ( n = 3 -2 1 ) do plano. Portanto, o vetor normal do plano é:

Passo 4

Agora que temos o vetor normal, podemos usar a equação geral do plano, que é dada por:
a(x - x0) + b(y - y0) + c(z - z0) = 0
Onde é um ponto que pertence ao plano, e , , são as componentes do vetor normal .

Passo 5

Sabemos que o plano passa pelo ponto 3(x - 1) - 2(y - 2) + 1(z - 3) = 0 . Vamos substituir esse ponto e as componentes do vetor normal na equação do plano:

Passo 6

Agora, vamos simplificar essa equação:
3x - 3 - 2y + 4 + z - 3 = 0
3x - 2y + z - 2 = 0

Resposta

A equação do plano é:
3x - 2y + z = 2

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