Encontre a equação da reta que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com o vetor
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto
e forma um ângulo de
com o vetor
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, envolvendo vetores e ângulos entre eles.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a equação de uma reta no espaço pode ser escrita de forma paramétrica:
onde
é um ponto da reta e
é o vetor diretor da reta. Aqui,
.
Passo 3
Precisamos descobrir o vetor diretor
que forma um ângulo de
com o vetor
. Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
onde
é o ângulo entre
e
.
Passo 4
Sabendo que
, temos:
Passo 5
Vamos considerar que o vetor
tenha componentes
. Então, o produto escalar
é:
A norma de
é:
E a norma de
é:
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
Passo 7
Simplificando a equação:
Passo 8
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 9
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 10
Expandindo o lado esquerdo:
Passo 11
Reorganizando os termos:
Multiplicando toda a equação por
para simplificar:
Passo 12
Essa equação relaciona as componentes
,
, e
do vetor diretor
. Para encontrar uma solução específica, vamos assumir que
para facilitar:
Passo 13
Resolvendo
, podemos fatorar:
Tomando a raiz quadrada:
Vamos escolher
para simplificar:
Portanto, os vetores diretores possíveis são:
Resposta
Uma das equações da reta é:
OU