Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (3,-2,1) e forma um ângulo de 30^circ com o vetor u=lang<= 1,0,-1rang<= ^* *

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a equação de uma reta que passa pelo ponto (3, -2, 1) e forma um ângulo de 30^circ com o vetor u = lang<= 1, 0, -1 rang<=. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, envolvendo vetores e ângulos entre eles.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a equação de uma reta no espaço pode ser escrita de forma paramétrica:
r(t) = r0 + tv
onde r0 é um ponto da reta e v é o vetor diretor da reta. Aqui, r0 = (3, -2, 1).

Passo 3

Precisamos descobrir o vetor diretor v que forma um ângulo de 30^circ com o vetor u = lang<= 1, 0, -1 rang<=. Para isso, vamos usar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores:
cos theta = v cdot u||v|| , ||u||
onde theta é o ângulo entre v e u.

Passo 4

Sabendo que theta = 30^circ, temos:
cos 30^circ = raiz32 = v cdot u||v|| , ||u||

Passo 5

Vamos considerar que o vetor v tenha componentes (a, b, c). Então, o produto escalar v cdot u é:
v cdot u = a cdot 1 + b cdot 0 + c cdot (-1) = a - c
A norma de v é:
||v|| = raiza^2 + b^2 + c^2
E a norma de u é:
||u|| = raiz1^2 + 0^2 + (-1)^2 = raiz2

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do cosseno:
a - craiza^2 + b^2 + c^2 cdot raiz2 = raiz32

Passo 7

Simplificando a equação:
a - craiza^2 + b^2 + c^2 = raiz32 cdot raiz2 = raiz62

Passo 8

Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(a - c)^2a^2 + b^2 + c^2 = 64 = 32

Passo 9

Multiplicando ambos os lados por a^2 + b^2 + c^2:
(a - c)^2 = 32(a^2 + b^2 + c^2)

Passo 10

Expandindo o lado esquerdo:
a^2 - 2ac + c^2 = 32a^2 + 32b^2 + 32c^2

Passo 11

Reorganizando os termos:
-12a^2 - 32b^2 - 12c^2 - 2ac = 0
Multiplicando toda a equação por -2 para simplificar:
a^2 + 3b^2 + c^2 + 4ac = 0

Passo 12

Essa equação relaciona as componentes a, b, e c do vetor diretor v. Para encontrar uma solução específica, vamos assumir que b = 0 para facilitar:
a^2 + c^2 + 4ac = 0

Passo 13

Resolvendo a^2 + c^2 + 4ac = 0, podemos fatorar:
(a + 2c)^2 - 3c^2 = 0 implies (a + 2c)^2 = 3c^2
Tomando a raiz quadrada:
a + 2c = pm raiz3c implies a = -2c pm raiz3c = c(-2 pm raiz3)
Vamos escolher c = 1 para simplificar:
a = -2 pm raiz3
Portanto, os vetores diretores possíveis são:
v = lang<= -2 + raiz3, 0, 1 rang<= e v = lang<= -2 - raiz3, 0, 1 rang<=

Resposta

Uma das equações da reta é:
r(t) = (3, -2, 1) + t, lang<= -2 + raiz3, 0, 1 rang<=
OU
r(t) = (3, -2, 1) + t, lang<= -2 - raiz3, 0, 1 rang<=

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