Encontre a equação do plano que passa pelos pontos (1,2,3),(4,5,6), e (7,8,9).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9). Isso está dentro da matéria de Geometria Analítica, especificamente envolvendo planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar usar vetores, produtos vetoriais e a equação geral do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se esses três pontos realmente formam um plano. Para isso, precisamos conferir se eles não estão todos na mesma linha reta, ou seja, se são colineares. Se forem colineares, não existe um único plano que passa por todos eles, mas sim infinitos planos que contêm essa linha.

Passo 3

Vamos verificar a colinearidade dos pontos. Para isso, calculamos dois vetores que partem de um dos pontos:
  • Vetor v1 de (1,2,3) para (4,5,6): v1 = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)
  • Vetor v2 de (1,2,3) para (7,8,9): v2 = (7-1, 8-2, 9-3) = (6, 6, 6)

Passo 4

Agora, vamos ver se v1 e v2 são múltiplos um do outro. Se sim, os pontos são colineares.
v2 = 2 times v1 (pois 6 = 2 times 3)
Isso mostra que v2 é igual a 2 vezes v1, o que significa que os três pontos estão na mesma linha reta.

Passo 5

Como os pontos são colineares, não podemos determinar um único plano que passa por todos eles. Na verdade, existem infinitos planos que contêm a linha formada por esses três pontos. Portanto, não há uma equação única de plano que satisfaça o enunciado.

Resposta

Os pontos (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,9) são colineares, então existem infinitas equações de plano que passam por eles. Não há uma única equação específica para o plano.

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