Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função: , no ponto . Este ponto é um ponto de máximo local ou de mínimo local ou de nenhum dos dois?

Passo 1

Vamos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e determinar se o ponto é de máximo ou mínimo local.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 3

Usaremos a regra do quociente para derivar :

Passo 4

Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada em :
A inclinação da reta tangente é 0, ou seja, a reta é horizontal.

Passo 6

A equação da reta tangente com inclinação 0 que passa pelo ponto é simplesmente:

Passo 7

Para verificar se é um ponto de máximo ou mínimo local, precisamos analisar a segunda derivada em . Se , é máximo; se , é mínimo.

Passo 8

Calculando a segunda derivada seria bastante complexo, então vamos analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de .

Passo 9

Calculando para valores próximos a 1:
  • Para :
  • Para :
Ambos os lados da derivada são positivos, indicando que a função está aumentando antes e depois de . Portanto, o ponto não é máximo nem mínimo.

Resposta

A equação da reta tangente é . O ponto não é um ponto de máximo local nem de mínimo local.

Exercícios relacionados

Determine as assíntotas horizontais e verticais de cada uma das seguintes funções racionais.
existe?
Consider an elastic string of length . The end is held fixed, while the end is free; thus the boundary conditions are and . The string is set in motion with no initial velocity from the initial position , onde
a. Find the displacement .
A steel wire 5 ft in length is stretched by a tensile force of 50 lb.
The wire has a weight per unit length of .
a. Find the velocity of propagation of transverse waves in the wire.