Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função: , no ponto . Este ponto é um ponto de máximo local ou de mínimo local ou de nenhum dos dois?
Passo 1
Vamos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e determinar se o ponto é de máximo ou mínimo local.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .
Passo 3
Usaremos a regra do quociente para derivar :
Passo 4
Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão da derivada:
Passo 5
Agora, avaliamos a derivada em :
A inclinação da reta tangente é 0, ou seja, a reta é horizontal.
Passo 6
A equação da reta tangente com inclinação 0 que passa pelo ponto é simplesmente:
Passo 7
Para verificar se é um ponto de máximo ou mínimo local, precisamos analisar a segunda derivada em . Se , é máximo; se , é mínimo.
Passo 8
Calculando a segunda derivada seria bastante complexo, então vamos analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de .
Passo 9
Calculando para valores próximos a 1:
Para :
Para :
Ambos os lados da derivada são positivos, indicando que a função está aumentando antes e depois de . Portanto, o ponto não é máximo nem mínimo.
Resposta
A equação da reta tangente é . O ponto não é um ponto de máximo local nem de mínimo local.