Calcule a equação da reta tangente ao gráfico da função: f(x) = e^x / (1 + x^2), no ponto P(1, e / 2). Este ponto é um ponto de máximo local ou de mínimo local ou de nenhum dos dois?

Passo 1

Vamos calcular a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto . Para isso, vamos usar derivadas para encontrar a inclinação da reta tangente e determinar se o ponto é de máximo ou mínimo local.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente em qualquer ponto .

Passo 3

Usaremos a regra do quociente para derivar :

Passo 4

Calculando as derivadas:
Substituindo na expressão da derivada:

Passo 5

Agora, avaliamos a derivada em :
A inclinação da reta tangente é 0, ou seja, a reta é horizontal.

Passo 6

A equação da reta tangente com inclinação 0 que passa pelo ponto é simplesmente:

Passo 7

Para verificar se é um ponto de máximo ou mínimo local, precisamos analisar a segunda derivada em . Se , é máximo; se , é mínimo.

Passo 8

Calculando a segunda derivada seria bastante complexo, então vamos analisar o comportamento da primeira derivada ao redor de .

Passo 9

Calculando para valores próximos a 1:
  • Para :
  • Para :
Ambos os lados da derivada são positivos, indicando que a função está aumentando antes e depois de . Portanto, o ponto não é máximo nem mínimo.

Resposta

A equação da reta tangente é . O ponto não é um ponto de máximo local nem de mínimo local.

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