Consider an elastic string of length . The end is held fixed, while the end is free; thus the boundary conditions are and . The string is set in motion with no initial velocity from the initial position , onde
a. Find the displacement .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Estamos lidando com uma corda elástica de comprimento que está fixa em uma extremidade e livre na outra. O problema faz parte do estudo das Equações de Onda na física. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e entender como expandir funções usando séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma corda com duas condições nas extremidades:
: A corda está fixa, então a posição .
: A extremidade é livre, o que implica que a derivada da posição em relação a é zero, ou seja, .
Além disso, a corda está inicialmente deslocada de sua posição de equilíbrio conforme a função e sem velocidade inicial, ou seja, e .
Passo 3
A equação que governa o movimento da corda é a Equação da Onda, dada por:
onde é a velocidade da onda na corda, é a segunda derivada de em relação ao tempo, e é a segunda derivada de em relação ao espaço.
Vamos usar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :
Passo 4
Substituindo na Equação da Onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações diferentes:
Para :
Para :
Passo 5
Vamos resolver a equação de com as condições de contorno:
(corda fixa em )
(derivada zero na extremidade livre )
A solução para que satisfaz essas condições é:
onde
E os valores de são:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação de :
A solução geral para é:
Como a velocidade inicial é zero, . Então,
Passo 7
A solução geral da Equação da Onda é uma soma de todas as soluções obtidas para cada modo :
Passo 8
Para encontrar os coeficientes , expandimos a função inicial em termos da base de funções :