Consider an elastic string of length L. The end x = 0 is held fixed, while the end x = L is free; thus the boundary conditions are u(0, t) = 0 and u_x(L, t) = 0. The string is set in motion with no initial velocity from the initial position u(x, 0) = f(x), onde
f(x) = { 0, 0 <= x <= L/2 - 1; 1, L/2 - 1 < x < L/2 + 1 ( assume L > 2 ); 0, L/2 + 1 <= x <= 1 }
a. Find the displacement u(x, t).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Estamos lidando com uma corda elástica de comprimento que está fixa em uma extremidade e livre na outra. O problema faz parte do estudo das Equações de Onda na física. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de separação de variáveis e entender como expandir funções usando séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos uma corda com duas condições nas extremidades:
  • : A corda está fixa, então a posição .
  • : A extremidade é livre, o que implica que a derivada da posição em relação a é zero, ou seja, .
Além disso, a corda está inicialmente deslocada de sua posição de equilíbrio conforme a função e sem velocidade inicial, ou seja, e .

Passo 3

A equação que governa o movimento da corda é a Equação da Onda, dada por:
onde é a velocidade da onda na corda, é a segunda derivada de em relação ao tempo, e é a segunda derivada de em relação ao espaço.
Vamos usar a separação de variáveis assumindo que a solução pode ser escrita como o produto de uma função que depende apenas de e outra que depende apenas de :

Passo 4

Substituindo na Equação da Onda:
Dividindo ambos os lados por :
Aqui, é uma constante de separação. Isso nos dá duas equações diferentes:
  1. Para :
  1. Para :

Passo 5

Vamos resolver a equação de com as condições de contorno:
  • (corda fixa em )
  • (derivada zero na extremidade livre )
A solução para que satisfaz essas condições é:
onde
E os valores de são:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação de :
A solução geral para é:
Como a velocidade inicial é zero, . Então,

Passo 7

A solução geral da Equação da Onda é uma soma de todas as soluções obtidas para cada modo :

Passo 8

Para encontrar os coeficientes , expandimos a função inicial em termos da base de funções :
Os coeficientes são dados por:

Resposta

A deslocação da corda é dada por:
onde os coeficientes são calculados por:

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