Suponha que o número de vezes que uma pessoa fica resfriada durante um ano tem distribuição de Poisson com parâmetro . Um novo remédio para prevenir resfriados reduz este parâmetro para para das pessoas e não faz efeito em restantes. Se uma pessoa tomou este remédio durante um ano e pegou resfriado 2 vezes, qual é a probabilidade de que o remédio funciona para esta pessoa?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve a distribuição de Poisson, que é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo. No caso, o número de vezes que uma pessoa fica resfriada em um ano. A gente vai precisar entender como a Poisson funciona e usar um pouco de probabilidade condicional para descobrir a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para contar o número de eventos que acontecem em um certo período, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson para uma dada quantidade de eventos é:
Aqui, é o parâmetro que representa a média de eventos por período.

Passo 3

No nosso caso, sem o remédio, a taxa média de resfriados é por ano. Quando o remédio funciona, essa taxa diminui para para 75% das pessoas. Porém, para 25% das pessoas, o remédio não faz efeito e a taxa permanece .

Passo 4

Queremos saber a probabilidade de que o remédio funcionou, dado que uma pessoa tomou o remédio e ficou resfriada 2 vezes no ano. Isso é uma probabilidade condicional que podemos calcular usando o Teorema de Bayes:
ééé

Passo 5

Vamos calcular cada parte dessa equação. Primeiro, é e éã.

Passo 6

Agora, calculamos é usando a distribuição de Poisson com :
é

Passo 7

Também precisamos de éã, que usa :
éã

Passo 8

Agora, calculamos , que é a probabilidade total de ficar resfriado 2 vezes, independente de o remédio ter funcionado ou não:
éééãéã

Passo 9

Agora, juntamos tudo na fórmula de Bayes:
é

Resposta

A probabilidade de que o remédio tenha funcionado para essa pessoa é aproximadamente ou 88%.

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