Suponha que o número de vezes que uma pessoa fica resfriada durante um ano tem distribuição de Poisson com parâmetro
. Um novo remédio para prevenir resfriados reduz este parâmetro para
para
das pessoas e não faz efeito em
restantes. Se uma pessoa tomou este remédio durante um ano e pegou resfriado 2 vezes, qual é a probabilidade de que o remédio funciona para esta pessoa?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema que envolve a distribuição de Poisson, que é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo. No caso, o número de vezes que uma pessoa fica resfriada em um ano. A gente vai precisar entender como a Poisson funciona e usar um pouco de probabilidade condicional para descobrir a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição de Poisson. Ela é usada para contar o número de eventos que acontecem em um certo período, quando esses eventos acontecem com uma taxa média constante e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson para uma dada quantidade de eventos
é:
Aqui,
é o parâmetro que representa a média de eventos por período.
Passo 3
No nosso caso, sem o remédio, a taxa média de resfriados é
por ano. Quando o remédio funciona, essa taxa diminui para
para 75% das pessoas. Porém, para 25% das pessoas, o remédio não faz efeito e a taxa permanece
.
Passo 4
Queremos saber a probabilidade de que o remédio funcionou, dado que uma pessoa tomou o remédio e ficou resfriada 2 vezes no ano. Isso é uma probabilidade condicional que podemos calcular usando o Teorema de Bayes:
Passo 5
Vamos calcular cada parte dessa equação. Primeiro,
e
.
Passo 6
Agora, calculamos
usando a distribuição de Poisson com
:
Passo 7
Também precisamos de
, que usa
:
Passo 8
Agora, calculamos
, que é a probabilidade total de ficar resfriado 2 vezes, independente de o remédio ter funcionado ou não:
Passo 9
Agora, juntamos tudo na fórmula de Bayes:
Resposta
A probabilidade de que o remédio tenha funcionado para essa pessoa é aproximadamente
ou 88%.