Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(h)
, de
(h)
Passo 1
O exercício solicita calcular a área da região limitada pela curva
no intervalo
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo integral, que nos permite encontrar áreas sob curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da função
. Vamos fatorar o denominador:
Assim, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos identificar onde a função
é igual a zero e onde ela não está definida. A função se anula quando o numerador é zero, ou seja, quando
. Além disso, a função não está definida nos valores que anulam o denominador, ou seja,
e
.
No intervalo
, o ponto
está no limite superior, mas como
, não precisamos considerar
dentro desse intervalo. Portanto, vamos seguir para a integração nesse intervalo.
Passo 4
Para encontrar a área, vamos calcular a integral definida de
de
a
:
Vamos simplificar a fração utilizando frações parciais. Queremos expressar
como:
Multiplicando ambos os lados por
:
Para encontrar os valores de
e
, escolhemos valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Então, a fração parcial fica:
Passo 5
Agora, substituímos de volta na integral:
As integrais de
são
, então:
Calculando os limites:
Para o primeiro termo:
Para o segundo termo:
Aqui, observamos que
tende a
, o que significa que a integral tende ao infinito negativo. Isso ocorre porque a função possui uma assíntota vertical em
e estamos tentando integrar até esse ponto.
Resposta
A área não existe pois a integral definida diverge para menos infinito.
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e
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Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(i) , de
(i)
Estude a convergência da integral imprópria
, onde
é um número real qualquer.