Calcule o volume de um cone circular reto de altura h e base com raio R utilizando seções transversais e cascas cilíndricas.

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume de um cone circular reto com altura e raio da base . Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo de volume: seções transversais e cascas cilíndricas. Essas técnicas fazem parte do cálculo integral, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos com formas variadas.

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos discos. Imagine que cortamos o cone em fatias fininhas paralelas à base. Cada fatia é um disco com um certo raio.
Para montar a integral, precisamos relacionar o raio do disco com a altura. Como o cone é reto, o raio varia linearmente com a altura. Podemos expressar o raio em função da altura como:
A área de cada disco é:
Agora, para encontrar o volume total, integramos essa área de até :

Passo 3

Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Neste método, consideramos o cone composto por várias cascas finas ao redor do eixo vertical.
A espessura de cada casca é , a distância do eixo é , e a altura da casca é proporcional ao raio naquele ponto. Assim, a área lateral da casca é:
Á
Para encontrar o volume, integramos essa área de até :

Resposta

Após resolver as integrais em ambos os métodos, encontramos que o volume do cone é dado por:

Exercícios relacionados

A região entre as curvas x = y^2 - 2, x = 3y^2 - 2, x = y^2 e y = 0 é rotacionada em torno do eixo x para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.
Calculando as integrais I=integral1^2 x^2 d x, I2=integral1^2 x d x e I3=integral1^3 d x, Obtemos I1= 73, I2=32, I3=1. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
d) integral1^2(3 x+2)^2 d x
Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(h) y = (x - 2) / (x^2 - 5x + 4), de 2 <= x < 4
Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas y, e pelos intervalos indicados:
(i) y = 1 / (x^2 - x - 2), de 0 <= x <= 4