Calcule o volume de um cone circular reto de altura
e base com raio
utilizando seções transversais e cascas cilíndricas.
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de um cone circular reto com altura
e raio da base
. Para isso, vamos usar duas técnicas de cálculo de volume: seções transversais e cascas cilíndricas. Essas técnicas fazem parte do cálculo integral, que nos ajuda a encontrar volumes de sólidos com formas variadas.
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método das seções transversais, também conhecido como método dos discos. Imagine que cortamos o cone em fatias fininhas paralelas à base. Cada fatia é um disco com um certo raio.
Para montar a integral, precisamos relacionar o raio do disco com a altura. Como o cone é reto, o raio varia linearmente com a altura. Podemos expressar o raio
em função da altura
como:
A área de cada disco é:
Agora, para encontrar o volume total, integramos essa área de
até
:
Passo 3
Agora, vamos usar o método das cascas cilíndricas. Neste método, consideramos o cone composto por várias cascas finas ao redor do eixo vertical.
A espessura de cada casca é
, a distância do eixo é
, e a altura da casca é proporcional ao raio naquele ponto. Assim, a área lateral da casca é:
Para encontrar o volume, integramos essa área de
até
:
Resposta
Após resolver as integrais em ambos os métodos, encontramos que o volume do cone é dado por:
Exercícios relacionados
A região entre as curvas
e
é rotacionada em torno do eixo
para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.
Calculando as integrais
e
, Obtemos
. Usando estes resultados, encontrar o valor de:
d)
d)
Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(h) , de
(h)
Calcule, se existir, a área das regiōes abaixo, limitas pelas curvas
, e pelos intervalos indicados:
(i) , de
(i)