A região entre as curvas x = y^2 - 2, x = 3y^2 - 2, x = y^2 e y = 0 é rotacionada em torno do eixo x para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem umas curvas definidas por , , e . Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis (também conhecido como método das washers).

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Vamos igualar as equações e :
Simplificando:
Então, essas duas curvas se cruzam apenas quando .

Passo 3

Agora, vamos ver onde a curva se cruza com as outras. Igualando com :
Como estamos trabalhando com e assumindo que é positivo, consideramos .

Passo 4

Então, nossa região de interesse está entre e . Como vamos girar essa região em torno do eixo e as funções estão em termos de , o método dos discos (ou anéis) é o mais adequado para calcular o volume.

Passo 5

No método dos discos, a fórmula para o volume é:
Onde:
  • é a função externa (mais afastada do eixo de rotação).
  • é a função interna (mais próxima do eixo de rotação).
  • e são os limites de integração.

Passo 6

Identificando as funções:
  • (mais afastada)
  • (mais próxima)
Então, o volume será:

Passo 7

Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:

Passo 8

Agora, o volume fica:

Passo 9

Vamos integrar termo a termo:
Subtraindo as integrais:
Como o volume não pode ser negativo, percebemos que devemos inverter a ordem na subtração.

Passo 10

Ajustando a ordem:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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