A região entre as curvas e é rotacionada em torno do eixo para formar um sólido. Quantas integrais temos que resolver por cada método? Escolha o método que achar mais apropriado e calcule o volume do sólido.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício tá pedindo. A gente tem umas curvas definidas por , , e . Queremos descobrir o volume do sólido que forma quando essa região é girada em torno do eixo . Para isso, vamos usar o cálculo integral, mais especificamente o método dos discos ou anéis (também conhecido como método das washers).
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos de interseção dessas curvas para saber os limites de integração. Vamos igualar as equações e :
Simplificando:
Então, essas duas curvas se cruzam apenas quando .
Passo 3
Agora, vamos ver onde a curva se cruza com as outras. Igualando com :
Como estamos trabalhando com e assumindo que é positivo, consideramos .
Passo 4
Então, nossa região de interesse está entre e . Como vamos girar essa região em torno do eixo e as funções estão em termos de , o método dos discos (ou anéis) é o mais adequado para calcular o volume.
Passo 5
No método dos discos, a fórmula para o volume é:
Onde:
é a função externa (mais afastada do eixo de rotação).
é a função interna (mais próxima do eixo de rotação).
e são os limites de integração.
Passo 6
Identificando as funções:
(mais afastada)
(mais próxima)
Então, o volume será:
Passo 7
Vamos expandir os quadrados:
Subtraindo:
Passo 8
Agora, o volume fica:
Passo 9
Vamos integrar termo a termo:
Subtraindo as integrais:
Como o volume não pode ser negativo, percebemos que devemos inverter a ordem na subtração.