Calcule, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = x^2 - 2xy + 3y^2 no domínio x^2 + 2y^2 = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função dentro do domínio definido por . Isso envolve o estudo de otimização de funções com restrições, ou seja, queremos otimizar sabendo que está na curva .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos para uma função com restrição. Isso quer dizer que queremos os maiores e menores valores que pode assumir enquanto e obedecem à equação . Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções sujeitas a certas restrições.

Passo 3

O método dos multiplicadores de Lagrange funciona assim: a gente define uma nova função, chamada de função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um multiplicador (vamos chamar de ). A fórmula fica:
Onde e no nosso caso. Então, nossa função de Lagrange fica:

Passo 4

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a , e e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeiro, a derivada em relação a :
Em relação a :
E em relação a :

Passo 5

Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos simplificar as duas primeiras equações dividindo por 2:

Passo 6

Substituindo na segunda equação:
Fatorando :
Então, ou ou .

Passo 7

Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na equação :
E na restrição :
çã
Então, não há solução nesse caso.
Caso 2:
Expandindo:
Rearranjando:

Passo 8

Resolvendo a equação quadrática para :
Então, temos duas soluções:

Passo 9

Vamos encontrar os valores de e para cada valor de .
Para :
Substituindo na restrição :
Então,
Para :
Substituindo na restrição :
Então,

Passo 10

Agora, temos quatro pares que podem ser pontos de máximo ou mínimo:
Vamos calcular em cada um desses pontos.

Passo 11

Calculando :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Passo 12

Observamos que os valores de nos pontos 1 e 2 são iguais a 2, e nos pontos 3 e 4 são iguais a . Portanto, o valor máximo absoluto de no domínio dado é 2, e o valor mínimo absoluto é .

Resposta

O máximo absoluto de é 2 e o mínimo absoluto é no domínio .

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