Calcule, se existirem, o máximo e mínimo absolutos de
no domínio
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo da função
dentro do domínio definido por
. Isso envolve o estudo de otimização de funções com restrições, ou seja, queremos otimizar
sabendo que
está na curva
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa encontrar máximos e mínimos absolutos para uma função com restrição. Isso quer dizer que queremos os maiores e menores valores que
pode assumir enquanto
e
obedecem à equação
. Para resolver isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange, uma técnica da matemática que ajuda a otimizar funções sujeitas a certas restrições.
Passo 3
O método dos multiplicadores de Lagrange funciona assim: a gente define uma nova função, chamada de função de Lagrange, que combina a função que queremos otimizar com a restrição multiplicada por um multiplicador (vamos chamar de
). A fórmula fica:
Onde
e
no nosso caso. Então, nossa função de Lagrange fica:
Passo 4
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais da função
em relação a
,
e
e igualá-las a zero. Isso nos dará um sistema de equações para resolver.
Primeiro, a derivada em relação a
:
Em relação a
:
E em relação a
:
Passo 5
Agora, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos simplificar as duas primeiras equações dividindo por 2:
Passo 6
Substituindo
na segunda equação:
Fatorando
:
Então, ou
ou
.
Passo 7
Vamos analisar os dois casos:
Caso 1:
Substituindo na equação
:
E na restrição
:
Então, não há solução nesse caso.
Caso 2:
Expandindo:
Rearranjando:
Passo 8
Resolvendo a equação quadrática para
:
Então, temos duas soluções:
Passo 9
Vamos encontrar os valores de
e
para cada valor de
.
Para
:
Substituindo na restrição
:
Então,
Para
:
Substituindo na restrição
:
Então,
Passo 10
Agora, temos quatro pares
que podem ser pontos de máximo ou mínimo:
Vamos calcular
em cada um desses pontos.
Passo 11
Calculando
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 12
Observamos que os valores de
nos pontos 1 e 2 são iguais a 2, e nos pontos 3 e 4 são iguais a
. Portanto, o valor máximo absoluto de
no domínio dado é 2, e o valor mínimo absoluto é
.
Resposta
O máximo absoluto de
é 2 e o mínimo absoluto é
no domínio
.