Determine se cada uma das equações abaixo é separável. Em caso afirmativo, encontre sua solução geral:
© y' + y^2 = x

Passo 1

Beleza, vamos analisar o exercício que você me enviou! A gente precisa verificar se a equação diferencial é separável. Para isso, vamos usar conceitos de Equações Diferenciais Seperáveis, que são aquelas que podemos escrever de um jeito que a variável e suas derivadas fiquem de um lado e do outro. Se conseguirmos separar assim, conseguimos resolver a equação facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para isolar :
Agora, queremos ver se conseguimos separar as variáveis e dos lados opostos da equação.

Passo 3

Para que uma equação seja separável, ela precisa estar na forma:
Onde conseguimos separar os termos de de um lado e os termos de do outro. Olhando para a nossa equação:
Vemos que mistura as variáveis e de uma forma que não permite separar facilmente.

Passo 4

Vamos tentar reescrever a equação para ver se dá para separar:
Tentando separar, teríamos:
Mas isso não facilita na separação das variáveis, pois ainda está misturado com na fração. Não conseguimos expressar a equação como um produto de uma função só de e outra só de .

Passo 5

Como não conseguimos separar as variáveis e de forma clara, concluímos que a equação não é separável. Portanto, precisaríamos de outro método para resolver essa equação diferencial, como fator integrante ou técnicas mais avançadas.

Resposta

A equação não é separável.

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