Seja
. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (PDE) que é:
Nosso objetivo aqui é verificar se as funções dadas:
e
satisfazem essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, somá-las e ver se dá zero. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. A função
é:
Para derivar
, onde
, usamos a regra da cadeia:
Agora, calculemos
:
Como
é uma função de
e
, temos:
Vamos encontrar
a partir da função dada de
:
Derivando em relação a
:
Então,
Portanto,
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Usando o mesmo raciocínio:
Calculando
:
Novamente, usando a regra da cadeia:
Derivando
em relação a
:
Então,
Portanto,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Novamente, usamos a regra da cadeia:
Calculando
:
Portanto,
Passo 5
Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las conforme a equação dada:
Substituindo as expressões que encontramos:
Como todas as frações têm o mesmo denominador, podemos somar os numeradores:
Simplificando o numerador:
Passo 6
Agora, precisamos verificar se essa soma é igual a zero. Para isso, observamos que o denominador não é zero (já que
,
e
são sempre positivos). Portanto, o numerador também precisa ser zero:
Isso implica que:
Para que isso seja verdade, cada termo multiplicado por
deve anular os demais termos, o que é altamente improvável dado que as exponenciais são sempre positivas e as variáveis
e
podem variar livremente. Assim, a soma das derivadas parciais não é igual a zero.
Resposta
As funções dadas não satisfazem a equação diferencial parcial apresentada.