Seja partial w / partial x+partial w / partial y+partial w / partial z=0. Verifique se as seguintes funções satisfazem à equação:
z=x^2 y^3-3 x^4 y^4
w=ln (e^x+e^y+e^z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial parcial (PDE) que é:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z = 0
Nosso objetivo aqui é verificar se as funções dadas:
z = x^2 y^3 - 3 x^4 y^4
e
w = ln (e^x + e^y + e^z)
satisfazem essa equação. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a , e , somá-las e ver se dá zero. Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de w = ln (e^x + e^y + e^z) em relação a partial wpartial x = 1u cdot partial upartial x . A função partial upartial x = e^x + 0 + partial e^zpartial x é:
partial e^zpartial x = e^z cdot partial zpartial x
Para derivar z = x^2 y^3 - 3 x^4 y^4 , onde partial zpartial x = 2x y^3 - 12x^3 y^4 , usamos a regra da cadeia:
partial upartial x = e^x + e^z cdot (2x y^3 - 12x^3 y^4)
Agora, calculemos partial wpartial x = e^x + e^z (2x y^3 - 12x^3 y^4)e^x + e^y + e^z :
Como é uma função de e , temos:
Vamos encontrar a partir da função dada de :
Derivando em relação a :
Então,
Portanto,

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial y = 1u cdot partial upartial y em relação a partial upartial y = 0 + e^y + partial e^zpartial y . Usando o mesmo raciocínio:
partial e^zpartial y = e^z cdot partial zpartial y
Calculando partial zpartial y = 3x^2 y^2 - 12x^4 y^3 :
partial upartial y = e^y + e^z (3x^2 y^2 - 12x^4 y^3)
Novamente, usando a regra da cadeia:
partial wpartial y = e^y + e^z (3x^2 y^2 - 12x^4 y^3)e^x + e^y + e^z
Derivando em relação a :
Então,
Portanto,

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial wpartial z = 1u cdot partial upartial z em relação a partial upartial z = 0 + 0 + e^z . Novamente, usamos a regra da cadeia:
partial wpartial z = e^ze^x + e^y + e^z
Calculando :
Portanto,

Passo 5

Agora que temos todas as derivadas parciais, vamos somá-las conforme a equação dada:
partial wpartial x + partial wpartial y + partial wpartial z
Substituindo as expressões que encontramos:
e^x + e^z (2x y^3 - 12x^3 y^4)e^x + e^y + e^z + e^y + e^z (3x^2 y^2 - 12x^4 y^3)e^x + e^y + e^z + e^ze^x + e^y + e^z
Como todas as frações têm o mesmo denominador, podemos somar os numeradores:
e^x + e^y + e^z (2x y^3 - 12x^3 y^4 + 3x^2 y^2 - 12x^4 y^3 + 1)e^x + e^y + e^z
Simplificando o numerador:
e^x + e^y + e^z (2x y^3 - 12x^3 y^4 + 3x^2 y^2 - 12x^4 y^3 + 1)

Passo 6

Agora, precisamos verificar se essa soma é igual a zero. Para isso, observamos que o denominador não é zero (já que e^x + e^y + e^z (2x y^3 - 12x^3 y^4 + 3x^2 y^2 - 12x^4 y^3 + 1) = 0 , e^x + e^y + e^z (2x y^3 - 12x^3 y^4 + 3x^2 y^2 - 12x^4 y^3 + 1) = 0 e são sempre positivos). Portanto, o numerador também precisa ser zero:
Isso implica que:
Para que isso seja verdade, cada termo multiplicado por deve anular os demais termos, o que é altamente improvável dado que as exponenciais são sempre positivas e as variáveis e podem variar livremente. Assim, a soma das derivadas parciais não é igual a zero.

Resposta

As funções dadas não satisfazem a equação diferencial parcial apresentada.

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